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高中数学解析几何中求参数取值范围的方法

高中数学解析几何中求参数取值范围的方法

近几年来,与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中,这类问题不仅涉及知识面广,综合性大,应用性强,而且情景新颖,能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质,是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时,往往抓不住问题关键,无法有效地解答,这类问题求解的关键在于根据题意,构造相关的不等式,然后求出不等式的解。那么,如何构造不等式呢?本文介绍几种常见的方法:

一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式

曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.

例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0)

求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.

解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1

又∵线段AB的垂直平分线方程为

y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )

令y=0得 x0=x1+x22 •a2-b2a2

又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点

∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a

∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

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