参数分离法解题应用_田灿锋

·通法研究·

参数分离法解题应用

◎　江苏　田灿锋

　　数学思想方法是从数学知识中提炼出来的精华,是将知识转化为能力的桥梁,同时也是高考考查的重点.本文就参数分离法在解题中的应用举例说明.1　通法归纳

所谓参数分离法即对题设中含参不等式的参数进行分离,使不等式一端只含有参数(不含变量),另一端只含有变量(不含参数),即将F(x,a)>0分离成f(x)>g(a)或f(x)<g(a),再利用f(x)>g(a)恒成立 [f(x)]min>g(a)或f(x)<g(a)恒成立 [f(x)]max<g(a)求解.2　典例分析

例1　(2006年江西卷)若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,成立,则a的最小值为(　　).

2

A　0;　　B　-2;　　C;　　D　-3

2

x2+ax+1≥0(0<x

2

-a≤x,(0<x).

x2

令

0<x,g(x)=x　

2x

立,

则实数a的值为

3

.

3

分离参数a,有ax-3x+1≥0 ax≥3x-1,需讨论:

(1)当x=0时,f(x)=1>0恒成立,a可以取到一切实数;

(2)当0<x≤1时,可得a,即

xx

a≥[32]max.

xx

令t,t∈[1,+∞),易求得三次函数g(t)=

x-t3+3t2在[1,+∞)上的最大值为g(2)=4,所以a≥4.

(3)当-1≤x<0时,可得a32,即

xx

a≤[32]min,

xx

易求得三次函数g(t)=-t+3t在(-∞,-1]上的最小值为g(-1)=4,所以a≤4.

综上可得a=4.

历年高考反复出现此类问题,应当引起我们足够的重视,我们必须熟练掌握及灵活

运用.

,其中a∈R,如例3　设f(x)=lg3果x∈(-∞,1]时,f(x)有意义

,求a的取值范围.

根据题意4·a+2+1>0在x∈(-∞,1]上恒成立.设t=2x,则有a·t2+t+1>0

在t∈(0,2]上恒成立,分离参数a,可得

at,即a>[t]max.

tt令u,u∈,+∞),易得二次函数g(u)=

t2

x

xx

x

3

2

则[g(x)]min≥-a.因为g(x)在(0,]上是减函数,

2)所以[g(x)]min=g.故≥-a,a,2222

故a的最小值为,选C.

2

此类问题采用“分离参数法”较为省时、省力.

例2　(2008年江苏卷)设函数f(x)=ax-3x+1,若对任意的x∈[-1,1],都有f(x)≥0成

4

3

1985年4月1日,《中华人民共和国专利法》实施.

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