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高中数列经典例集

经典

一、 经典例题剖析

考点一:等差、等比数列的概念与性质 例题1.(1)数列{an}和{bn}满足an

1

(b1 b2 bn) (n=1,2,3…), n

(1)求证{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列。

(2)数列{an}和{cn}满足cn an 2an 1(n N*),探究{an}为等差数列的充分必要条 证明:(1)必要性 若{bn}为等差数列,设首项b1,公差d

1n(n 1)n 1

(nb1 d) b1 d n22

dd

∵an 1 an , ∴{an}为是公差为的等差数列

22

则an

充分性 若{an}为等差数列,设首项a1,公差d

则b1 b2 bn n[a1 (n 1)d] dn2 (a1 d)n

b1 b2 bn 1 d(n 1)2 (a1 d)(n 1)

∴bn 2dn (a1 2d)

(n 2)

(n 2)

当n=1时,b1=a1也适合

∵bn+1-bn=2d, ∴{bn}是公差为2d的等差数列

(2)结论是:{an}为等差数列的充要条件是{cn}为等差数列且bn=bn+1

其中bn an an 2 (n=1,2,3…)

例题2.已知数列 an 的首项a1 2a 1(a是常数,且a 1),

an 2an 1 n2 4n 2(n 2),数列 bn 的首项b1 a,bn an n2(n 2)。

(1)证明: bn 从第2项起是以2为公比的等比数列;

(2)设Sn为数列 bn 的前n项和,且 Sn 是等比数列,求实数a的值; (3)当a>0时,求数列 an 的最小项。

分析:第(1)问用定义证明,进一步第(2)问也可以求出,第(3)问由a的不同而要分类讨论。

解:(1)∵bn an n2

∴bn 1 an 1 (n 1) 2an (n 1) 4(n 1) 2 (n 1) 2an 2n 2bn(n≥2)

2

2

2

2

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