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§2 第二型曲面积分 - 网络地图

《数学分析》下册 第二十二章 曲面积分 石家庄经济学院数理学院

1 §

2 第二型曲面积分

教学目的 掌握第二型曲面积分的定义和计算公式.

教学内容 曲面的侧;第二型曲面积分的定义和计算公式.

(1) 基本要求:掌握用显式方程的第二型曲面积分的定义和计算公式.

(2) 较高要求:掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公式,掌握两类曲面积分的联系.

教学建议

(1) 本节的重点是要求学生必须掌握第二型曲面积分的定义和计算公式,要强调一、二型曲面积分的区别,要讲清确定有向曲面侧的重要性.

(2) 本节的难点是用隐式方程或参数方程给出的曲面的第二型曲面积分的计算公式以及两类曲面积分的联系,可对较好学生要求他们掌握.

教学程序

曲面的侧 双侧曲面的概念、曲面的侧的概念

背景:求非均匀流速的物质流单位时间流过曲面块的流量时,利用均匀流速的物质流单位时间流过平面块的流量的方法,通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤,来得到结果.一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法,从而归结出下面一类积分的定义.

一、第二型曲面积分的概念与性质

定义 设函数P ,Q ,R 与定义在双侧曲面S 上的函数.在S 所指定的一侧作分割T 它把S 分成n 个小曲面n S S S ,,21 (n i ,,2,1 =),分割T 的细度{}的直径i n i S T ≤≤=1max ,以yz i S ?,zx i S ?,xy i S ?分别为i S 在三个坐标上的投影区域的面积,它们的符号由i S 的方向来确定.如i S 的法线正向与z 轴正向成锐角时,i S 在xy 平面上的投影区域的面积xy i S ?为正,反之,如i S 的法线正向与z 轴正向成钝角时,i S 在xy 平面上的投影区域的面积

xy i S ?为负(n i ,,2,1 =).在每个小曲面i S 任取一点()i i i ζηξ,,,若极限 ()∑=→?n i i i i i T yz S P 10,,lim ζηξ+()∑=→?n i i i i i T zx S Q 10,,lim ζηξ+()∑=→?n i i i i i T xy S R 10,,lim ζηξ

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