2008考研数学二试题及解析

2008

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不得用于商业用途 2008年考研数学二试题分析、详解和评注

一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设2

()(1)(2)f x x x x =-+，则()f x '的零点个数为【 】．

(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3．

【答案】应选(D).

【详解】322()434(434)f x x x x x x x '=+-=+-． 令()0f x '=，可得()f x '有三个零点．故应选(D).

(2)曲线方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分

0()a xf x dx '⎰在几何上表示【 】．

(A) 曲边梯形ABCD 的面积． (B) 梯形ABCD 的面积．

(C) 曲边三角形ACD 面积． (D) 三角形ACD 面积．

【答案】 应选(C).

【详解】'000()()()()a

a a

xf x dx xdf x af a f x dx ==-⎰⎰⎰， 其中()af a 是矩形面积，

0()a f x dx ⎰为曲边梯形的面积，所以'0()a

xf x dx ⎰为曲边三角形ACD 的面积．故应选(C). (3)在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通

解的是【 】．

(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=.

(C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=.

【答案】 应选(D).

【详解】由123cos 2sin 2x y C e C x C x =++，可知其特征根为

11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为

2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+

3244λλλ=+--

32444λλλ=-+-

所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).

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