小波变换
第四章 多分辨率分析与正交小波变换
据第三章,构造正交基的一般方法为,在离散框架的基础上,取a0 2, 1则
m
2
m,n(t) 2 2 mt n ; m,n Z (4.1)
问题:
(1) 按上式离散得到的系列 m,n能否构成一个正交基? (2) 如何构造这样的母函数 (t)? 解决方法:多分辨率分析
4.1 几种正交小波基
(1)Haar小波
数学家A.Haar于1910年提出的Haar系hm,n(t) 2母函数生成的。
m2
h2 mt n(m,n Z)是由
1 h(t) 1
0
特点:
0 x 1/21
x 12其它
(4.2)
同一尺度m上,函数集合{hm,n(t)}n Z中任意两个函数的支集不相交;
同一尺度上的基函数相互正交;
不同尺度间的基函数正交;
hm,n构成了L2(R)空间上的完备标准正交基; Haar系的函数时域不连续,光滑性差; 频域随 的衰减速度仅为
1
,频域局部性差。
实际应用受限制,但结构简单,常用于理论研究。 (2)Littlewood-Paley小波
1
(t) (sin2 t sin t) (4.3)
t
其傅里叶变换为
1, 2
( ) (4.4)
0,其他
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