第20讲 共点、共线与共圆问题
本节主要内容有共点、共线与共圆概念及常用证明方法.所谓共点,指n条(n≥3)直线经过同一点.或n个(n≥3)圆经过同一点; 共线,指的三个及以上的点在同一条直线上; 共圆,指不在一条直线上的三点确定一个圆,以及有四点或四个以上的点在同一个圆上.证明中常用到Menelaus定理、Ceva定理、Fermat点、Simson线、Euler线、四点共圆等知识.
例1 设线段AB的中点为C,以AC为对角线作平行四边形AECD、BFCG,又作平行四
D 边形CFHD、CGKE,求证:H、C、K三点共线.
分析 C为AB中点,若C为HK的中点,则AKBH为平行四边
形.反之,若平行四边形成立,则H、C、K共线.
A
B 证明 连AK、DG、BH. C∵ AD∥EC∥KG,AD=EC=KG,∴ 四边形AKGD是平行四KF
边形.
E
∴ AK∥GD,AK=GD.
同理,BH∥GD,BH=GD,∴ BH∥AK,BH=AK,
∴ 四边形AKBH是平行四边形.故AB、HK互相平分,即HK经过AB的中点C. ∴ H、C、K三点共线.
例2 求证:过圆内接四边形各边中点向对边所作的四条垂线,交于一点. 分析 画出图形,是必要的,可以研究一下两条垂线的交点的性质,不难发现证明的方法. 证明 若ABCD是特殊图形(矩形、等腰梯形),易知结论成立.
如图,设圆内接四边形ABCD的对边互不平行.E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点,EE'⊥CD,FF'⊥DA,GG'⊥AB,HH'⊥BC,垂足分别为E',F',G',H'.
设EE'与GG'交于点P.∵ E为AB中点,∴ OE⊥AB,∴OE∥
C
EE'.
GE'
同理,OG∥EE'.∴ OEPG为平行四边形.
D
∴ OP、EG互相平分.即OP经过EG中点M.
同理,设FF'与HH'交于Q,则OQ经过FH中点N. O
H
∵ E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点,
∴ EFGH是平行四边形,∴EG、FH互相平分,即EG的中点就AE
G'
是FH的中点于是M与N重合.
∴ OP、OQ都经过点M且OP=OQ=2OM. ∴ P、Q重合,即四条垂线交于一点.
说明 本题利用了两条直线的交点具有某种性质来证明三线共点. B
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