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矩阵函数在解线性方程组中的应用

..2002年6月第19卷第2期

沈阳航空工业学院学报

JournalofShenyangInstituteofAeronauticalEngineering

Jun.2002V01.19No.2

文章编号:1007—1385(2002)02一0065一02

矩阵函数在解线性方程组中的应用

唐高阳

(沈阳工业学院基础部,辽宁沈阳110045)

摘要:本文利用矩阵函数及其微积分运算来求解一阶线性常系数非齐次微分方程组。关键词:矩阵函数;常向量变易法;矩阵函数值中图分类号:0151.21

文献标识码:A

考虑一阶线性常系数非齐次微分方程组claurin级数

誓=%针n12针…怕。针刚£)

id孝2=口:,孝,+n::&+…+口:。亭。+卢:(£)

“£)=“o)彰舯)£+寺烈。炉+..小=

1,2,…,n)

q’

从而有戈=c+如’(。)+六九”(o)+…

(5)

警=口菇,+n破&+...+‰亭。+雕t)

其中ad(i√=1,2,…,n)都是复数,展(£)(i=1,2,…,n)是t的已知函数,£=蠡(t)(i=1,2,…,n)是t的未知函数。方程组(1)可写为如下的矩阵方程idx=Ax+6(£)U^

(2)

由式(4),得参=A面d=A2x,万d3x=A2警=A3菇,…

于是有戈’(0)=Ac,菇”(O)=A2C,X,nt(O)=A3C,…代

人式(5),便得戈=c+tAc+扣2c+…=e“c

(6)

这就是说,方程(4)的解,即方程组(3)的解一定是式(6)。反之,不难证明式(6)确实是方程(4)的解。事实上,从式(6),并利用矩阵微分的性质就有

这里A=(aⅡ)。。,茄=石(t)=(f。,玉,…,f。)7,b(t)=(岛(t),侥(t),…,卢。(t))2。

下面先来讨论(1)所对应的齐次微分方程组

的解。

设一阶线性常系数齐次微分方程组为

戈,=蔷(e聃c)=【軎m】c+etA面dc=【面detA】c

=Ae蚋C=Ax

由于矩阵函数e“可逆,所以它的凡

誓=口…怕:”…怕^

坠dt=口:。f。+口兹f:”.+口:。f。

(3)

个列向量茹,(t),戈:(t),…,菇。(t)线性无关。故存在向量c=(y。,7:,…,y。)7,使得戈(t)=etAc=y1戈2(t)+y2戈2(t)+…+y。菇。(t)

(7)

设x=菇(t)是方程(2)的一个特解,石=戈(t)

警=%f,+口施”.+口。f。

式中t为自变量,蠡=玉(t)是t的函数(i=1,2,…,n),aq是复数(i,_『=1,2,…,/7,)。令菇=菇(t)=(f。,玉,…,玉)7,A=(ai)。。。,则方程组(3)可改

,|..

是方程(2)的一般解(或通解),那么芋(菇一x)=

A(石一x)即菇一x是方程(4)的解。根据式(7)可得茗一x=etAc

也就是石=etAc+菇(8)

为了确定方程(2)的特解菇,采取常向量变易法。设i=etAc(£),其中c(£)为待定向量,代人方

写为矩阵方程戈7=学=舭(4),现在假定方程(4)

Ub

满足初始条件c=(y,,y:,…,y。)7,其中7i=玉(0)(江1,2,…,n)。再将每个磊(t)展开为Ma一

程(2)可得:争=AetAc(t)+en}(£)=Ax+

etA面dc(t)=Ax+b(t),从而etA面d

c(£)=6(t)由

收稿日期:2001—12—17

作者简介:唐高阳(1970一),男,辽宁沈阳人,助教

此解得c(t)=J.e刊b(s)ds,故得方程(2)的一个

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