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复合函数的概念及复合函数的单调性

数学必修一第一章复合函数单调性教案

复合函数的概念及复合函数的单调性

1.复合函数的概念

如果y是 的函数, 又是x的函数,即y f( ), g(x),那么y关于x的函数y f[g(x)]叫做函数y f( )和 g(x)的复合函数,其中 是中间变量,自变量为x,函数值y。 例如:函数y ()x

13

2

2x

是由y () , x 2x复合而成立。

2

2

13

函数y lg(3 4x x)是由y lg , 3 4x x复合而成立, 、 是中间变量。 2.复合函数单调性 一般地,

定理:设函数 g(x)在区间M上有意义,函数y f( )在区间N上有意义,且当x M时, N 有以下四种情况:

(1)若 g(x)在M上是增函数,y f( )在N上是增函数,则y f[g(x)]在M上也是增函数; (2)若 g(x)在M上是增函数,y f( )在N上是减函数,则y f[g(x)]在M上也是减函数; (3)若 g(x)在M上是减函数,y f( )在N上是增函数,则y f[g(x)]在M上也是减函数; (4)若 g(x)在M上是减函数,y f( )在N上是减函数,则y f[g(x)]在M上也是增函数。 即:同增异减

注意:内层函数 g(x)的值域是外层函数y f( )的定义域的子集。 例1、讨论下列函数的单调性(注意:要求定义域) (1)y () 解:

2

13

x2 2x

(2)y lg(3 4x x)

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