费马数是合数的一个充要条件

费马数的一些研究进展,很有趣的

第２２卷第４期２００９年８月

四川理工学院学报（自然科学版）

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｉｃｈｕａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅ＆Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｖｏｌ２２　Ｎｏ４

Ａｕｇ２００９

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文章编号：１６７３１５４９（２００９）０４００２３０２

费马数是合数的一个充要条件

管训贵

（泰州师范高等专科学校，江苏泰州２２５３００）

２

　　摘　要：文章运用数论中的一些简单结果，如（ＦＦ）＝１及Ｆ１（ｎ）的素因数ｐ具有≥２ｍ，ｎｎ＝２＋ｎ＋２

ｋ＋１，其中ｋ为某正整数等，给出了费马数是合数的一个充要条件，并得到了Ｆ，Ｆ形状ｐ＝２５６和Ｆ７的

ｎ

素因数分解式。

关键词：费马数；合数；充要条件；素因数分解式中图分类号：Ｏ１５

文献标识码：Ａ

２

引理２若Ｆ１（ｎ）有素因数ｐ，则ｐ的≥２ｎ＝２＋ｎ＋２

形状为ｐ＝２ｋ＋１，其中ｋ为某正整数。

证一方面，设２对模Ｆ，ｐ的阶分别为ｔ，ｔ，则由ｎ１２２２ｎ＋１

Ｆ因为ｌ时，Ｆ２－１），≤ｎ２－１）知ｔｎ（１２。ｎ（

ｎ＋１

ｌ

ｎ

引言

２

形如Ｆ１（ｎ＝０，１，２，…）的整数称为费马ｎ＝２＋

ｎ

数。１６４０年，费马曾猜测所有这些数均为素数。的确，

２２

最初几个是素数，即Ｆ１＝３，Ｆ１＝５，０＝２＋１＝２＋２２２Ｆ１＝１７，Ｆ１＝２５７以及Ｆ２＝２＋３＝２＋４＝２＋２１＝６５５３７。不幸的是，１７３２年，欧拉证明了Ｆ１５＝２＋

５

２

３

４

０

１

ｎ＋１ｎ＋１ｄ

所以ｔ又ｔ＝２，可令ｔｄ１，≤ｎ＋１＝２。２ｔ２＝２，１２２２

－１），（２－１）。若ｄ≤ｎ，则（－即（２２

ｄ

ｄ－１

ｄ－１

２２

１）（２＋１），故（＋１）。２

ｄ－１

ｄ－１

是合数。从此再没有新的费马素数被发现。许多数学家相信不存在别的费马素数。

本文给出费马数是合数的一个充要条件，即如下：

２

定理Ｆ１（ｎ）是合数的充要条件是不≥５ｎ＝２＋

ｎ

ｎ＋１

这与引理１矛盾。因而ｄ＝ｎ＋１。此时ｔ２＝２。ｎ＋１ｎ＋１

，即２＋１，这由ｔ（ｐ）（ｐ－１）可得ｐ＝２ｌ２

里ｌ为某正整数。

定方程

２ｎ＋２２２－２ｎ－４２

２ｘ＋ｘ－２＝ｙ

ｎ＋１

ｎ

（１）

，ｐ（ｍｏｄ８），因此２是模ｐ另一方面，由于ｎ≥２≡１

ｐ－１ｎ

的平方剩余，即≡１（ｍｏｄｐ）。而＝２ｌ，故有１

２

ｐ－１有正整数解（ｘ，ｙ）满足２ｘ，并且在有解（ｘ，０００＞ｙ００ｙ）的情况下０

２ｎ＋３ｎ＋２２ｎ＋３ｎ＋２

Ｆ２ｘ２ｙ１）·（２ｘ２ｙ１）ｎ＝（０－０＋０＋０＋

２）≡（－１）（ｍｏｄｐ）又ｐ是奇素数，故≡＝２＝（

ｌ必为偶数，令ｌ＝２ｋ，则得ｎ≥２时，Ｆｎ的任一素因数

ｎ＋２必具有ｐ＝２ｋ＋１的形状，其中ｋ为某正整数。

ｐ－１

ｎ２ｌｎ

２ｌｌ

（２）

最后，我们讨论Ｆ，Ｆ５６和Ｆ７的素因数分解式。

２定理的证明

先证充分性。

ｎ＋１

若（１）有正整数解（ｘ，ｙ）满足２ｘ，则ｋ０００＞ｙ０１

ｎ＋１ｎ＋１

＝２ｘ且０＋ｙ０及ｋ２＝２ｘ０－ｙ０均为正整数，

ｎ＋２ｎ＋２

２ｋ１）（２ｋ１）（１＋２＋

ｎ＋２ｎ１ｎ＋２ｎ１＝［２（２＋ｘｙ）＋１］·［２（２＋ｘｙ）＋１］０＋００－０２ｎ＋３２ｎ＋２２＝（２ｘ１）－（２ｙ）０＋０

４ｎ＋６２２ｎ＋４２ｎ＋４２ｎ＋２２２－２ｎ－４＝２ｘ２ｘ１－２（２ｘｘ２）０＋０＋０＋０－２＝２＋１＝Ｆｎ

ｎ

ｎ

１引理

引理１若ｍ≠ｎ，则（ＦＦ）＝１。ｍ，ｎ

证不妨设ｍ＞ｎ，且ｍ＝ｎ＋ａ（ａ），则≥１

２２２２

Ｆ１＝２＋１＝（２）＋１ｍ＝２＋

２

＝（Ｆ１）＋１ｎ－

ａ

ｍ

ｎ＋ａ

ｎ

ａ

＝ｑＦ２ｎ＋

这里ｑ是某一正整数。

因此，（ＦＦ）＝（Ｆ，２）＝１。ｍ，ｎｎ

收稿日期：２００８１２２３

作者简介：管训贵（１９６３），男，江苏兴化人，副教授，主要从事基础数论方面的研究。

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