例说与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题

维普讯 http:/资/www.cqiv.pcm o中 数学学教学

2 0 04第3年期 例 说二次与数函关的含有绝有值对不等式的明证题问安 省贵徽池学吴中强 (成编邮 2:4 17 00 ) 二次函数最是简的单非线性数之一函，它有着丰富内容，的对代数近乃至现学代学数影响深，远二与次函有数的含关绝对值不有式等的证问明题一定的综点评有题首先本析分了二次数在函区间[闭 2一，

2]上的值情最况然后用， (,一1 )、厂 (0 )、f ( 1)表示系 n数、 b、c最后，利用对绝不等式值行放进，缩从而使题问

合与性活灵，学生解决性此问题往类往到有一感定的得，证这是决这解问类的常用方题法。 2已二知次数函某在几个的点取范围，值证求它困难本文。通过个例几子，归纳决解这类题问的些一 常题见与型本方基。 法在某个区 上间的值范围 例取 2已二次知数函f (x)= O . .T +C妇+c, g ( ) = 妇+a+, l, (1一) ≤l, 1 f l O( ) l≤ 1, l厂 1 ( l)≤1。

已知二次函1值数在个一区间上的范，求证围它在另一区间个的范围上 1设， (例 )=O .SC +k c (+a≠ ) O当l, l 41 ,时有总{ ( ),≤1 l求，证： l当 ≤l时，2厂I ) l(≤。7 证，明( )是次二函，数{ f ( x l)在[一2, 2]上的 求证当 1一4= 14时，总有：

I( )l厂 ( l )≤寺； (Ⅱ) l g (x ) l 42。 证明 ( ) I题设条件由，类似例 1,可得：

:最 值大能只l是厂 (2 ) l,I (厂一 ) 2I l f￣ (一 ) I。 故只需证 l明 ( 2 f) l 47; l厂(一 2 )l 4 7;当 l l一 4 2时，有l厂一 b) ( 417。

[ ( ±)￡(二 2二￡ ( 2

一 6 :地 ,

厂 ( 0:)。 代 入厂( )的析解得 厂式 ( ):二墨』 (厂 1)+墨二 厂( 1一) ( 1+ X一 )2 由 意，有I题 f( O ) l≤1, l (,一 ) l1≤1 ,I厂(1 ) l≤, f厂1( 0 )c,:

由厂 ( 1 )口=+b+c,得

,( 0 ), I又，( 1一 ) l≤ 1,l f (O ) l 1≤, l厂 1() l 4, 1

.. I , (一

1 )=口一 6+ c,} =n 1[ f ( 1) 厂+(一1 )一 2 f( O] ),

J I 。 当 一1 4 41时，有厂l( z) l 4 l华 ,(一 ) 1l+ 1 ( 1一 X2 ) , 0 ( l ) -厂 ( 1 ) l 1 b= 了1[f ( 1 )一 f (一 1)], ‘- + i 宰 I c= f(o ) .。.

1f( 2 ) l=l 4口+2 6+c l l 3, ( 1 )+ f (一 1一3) f( O) l 4 l 华 : I+I宰+ J .

l+{ 1 一l +(1一 z )

=J . 43 厂 ( I1) +lI, (一1) +I l3 f (O )I 3 4l+ 3+=7 ;=

I 厂 ( 2 ) l一= I4 一口2 6+ c l =

l l+ 1一 2 =一( 1 l一 )+丢≤专。 -

l , (1 )+ f3 (一1一3 )f (O ) I

( )Ⅱ一：法类似( I)于 ,g () = ≤l, ( ) 1I+3 If (一1 )+3{ If ( O l)≤1 3+ 3+= 7; 。 . ‘

I I= b1 I f 1() f (一1一 )I ’.。 厂 (1 )+

.厂(一1 )+( 2—1 ) 厂 ( )0。 ≤ ( I f ( 1 )I+ fI(一1 ) I ) _≤1+ 1=1,

,l( 1一 ) l≤1,l f O( l)≤1, l厂 ( ) l1≤ 1,

.‘ .

当 一1= 441时，有l g () l≤ .厂 (1 ) I+I .厂 ( 1 )一l+l ( 2—1 ) 厂 ( 0) I

当 I 4时，2

l I,(一 ) I:I 41 c

l=t c- b 专 I

。 4墨妄+ 蔓+1一 2:2 一 2 4 2。 二法： l g ) l (=l“+妇+n l =

b I -≤1+ 2× = 2 7< 因此， 当 lzl≤时2,l f ( ) ≤7。l l C S C 2一c+c+ +口l

第1页下一页