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类比推理在高中数学教学中的应用

一 类比推理在高中数学教学中的应用 季顺华 (大丰市新丰中学,江苏大丰“大前提、小前提和结论”三段论式的演绎推理贯穿于中 学数学教学的始终。而合情推理在数学发展史上也留下浓重笔,如阿基米德“称”出了球体公式,哥德巴赫做出了世界著名的猜想,傅立叶发明了级数。在社会生活中,医生诊病、警察判案、军事指挥、人际交往都要应用到合情推理。而我国中学数学教学历来重视逻辑推理能力的培养 .而忽视合情推理能力的培养,导致学生想象能力不高。类比推理作为合情推理的种,是根据在特征、属性等方面类同的两个不同对象。猜测它们在其他方面也可能存在有类同之处,从而做出某种判断的推理方法。 一一一

2 2 4 1 0 0 )

等比数列、圆与椭圆等,教师要利用结构的相似性由旧知概念类比到新知概念。①提问。寻找类比的“源问题”,通过提问的方式复习旧知。比如:今天我们将学习椭圆的知识,大家之前都学过圆。哪位同学说一说圆是如何定义的?圆的标准方程是什么?你认为圆的概念中,哪些词最能反映它具有的特性?接着教师呈现圆的概念 .并标记重点词汇 .为下一步的类比教学

做铺垫。②类比。教师设置递进性的问题,引导学生逐层深人, 由浅人深地找到类比条件,实现从旧知到新知的跨越。教师设

置的问题要“缓坡度”,降低思维的难度,避免跨度过大。③验 证。在得到新知概念之后,教师让学生进一步验证其正确性。 加深学生对概念的理解。( 2 )公式教学类比。高中数学公式繁多。仅三角函数就有两角和公式、和差化积、积分和差、倍角公式、诱导公式等若干个公式,学生即便花费很长时间记忆,在应用时也难免出错。为了避免枯燥乏味的机械记忆 .就要改变被动接受的学习方式,化被动记忆为主动归纳猜想 .通过直观感受得出公式。首先,教师要根据教学内容,挖掘“源问题”。如“三角函数的诱导公式”教学中,教师首先呈现锐角三角函数的定义。接着,教师让学生借助于单位圆。观察

第一向限角与其旋转 1 8 0。至第三象限角的终边的位置关系,猜想旋转后与旋转前的两角三角函数值存在怎样的关系?进而推导出三角函数的诱导公式。最后,教师要引导学生验证类比的结论。 ( 3 ) 计算教学类比 高中数学中的许多运算及运算规律具有一定的相似性 .如果教师能在“异中求同”,运用类比发现运算之间的区别联系,则有助于学生掌握新的运算。如复数集是实数集的拓展与延伸,复数运算与实数运算有许多类似的性质,教师通过启发引导 .让学生运用实数运算的交换律、结合律、分配律进行有关复数的运算。 2 .性质相似性类比。通过性质的相似性进行类比,可以达到触类旁通、举一反三的教学效果。教师先统一复习旧知,学生经过独立思考,按照类比的范式探索新知。进行统一类比, 教师要及时给予引导和纠错。性质的类比可以用表格的形式表述,清晰易懂,简洁明了。如: 圆的性质和球的性质类比教学表格 圆的性质球的性质

类比推理在数学教学中的作用

1 .有助于激发学习动机。教师创设类比的问题情境 .可以 吸引学生的注意力 .促使学生将自身的知识经验与教师的讲授有机联系起来 .通过对相关知识进行类比分析、寻找规律、 做出猜想。从而接受新的知识,掌握新的方法。 2 .有助于培养批判性思维能力。“学贵有疑,小疑则小进, 大疑则大进”。高考指挥棒扼杀了高中生敢于质疑的精神,使他们不知觉地迷信于书本、权威,导致他们缺乏批判能力,容易出现判断失误。教师要借助于类比情境,引导学生从多角度审视、多方位批判分析新的知识,让学生在“求同”中学会“存异”,从而培养学生的创新思维。 3 .有助于提高学习的主动性。“温故而知新,可以为师矣”。 许多新的知识是由旧知识发展变化而来 .新知识里或多或少都有旧知识的影子。教师在教学中,通过旧知猜测新知的内 容、思想和方法,有助于提高学生的学习积极性。如在“球的体积和表面积”教学中,教师通过“圆柱的体积”知识的复习,将

球体进行切割 .分解成若干个近似于圆柱体的“小圆片” .它的体积和接近于球的体积 4 .有助于学生掌握科学的思维方法。学生通过类比有助于区别容易混淆的内容,能将抽象的内容具体化,便于学生理解抽象的概念属性 .促使学生主动记忆。提高学生的记忆效率。类比教学能增强教学效果提高学生分析问题和解决问题的能力。 二、当前类比教学中存在的主要问题 1 .认识不足。类比作为一种重要的思维方法,在厘清概念、 总结规律、探索结论方面发挥重要的作用 .能将零乱、松散的知识条理化。如球的概念教学中。用圆的切线与球的切面、圆的弦与球的截面圆、圆周长与球表面积、圆面积与球体积进行类比, 有助于学生理解消化球的概念。然而,部分教师虽然也认为类比推理在解题中比较重要,但往往重视不够,没有进行针对性的训练,导致学生应用类比推理解题时困难重重。 2 .重解题轻讲授。高中一些知识结构、性质相互关联,通过类比推理就能快速地掌握新知。然而由于应试的观念根深蒂固,大部分教师大搞题海战术,片面追求问题的解题而忽视思想方法的指导,以至学生尚未将知识完全消化,就匆匆应用于解决数学题目,导致解题出错。 3 .缺乏系统化的教学。由于教师对类比推理教学没有引起足够的重视 .对类比推理教学的原则和策略缺乏有效的研究,不深入挖掘类比资源、应用类比素材 .导致应用类比教学的方法呈任意性和随机性。 三、类比教学的应用策略 1 .结构相似性类比。 ( 1 )概念类比教学。高中数学有很多概念的结构相似性明显,如正弦函数与余弦函数、等差数列与

圆心与弦 (非直径 )中点的连线垂球心与截面圆(不经过圆心的小截直于弦。 面圆)圆心的连线垂直于截面圆。 与圆心距离相等的两弦相等;与圆 与球心距离相等的两个截面圆相心距离不等的两弦不等,距圆心较等;与球心距离不等的两个截面圆 近的弦较长。 不等,距球 k t,较近的截面圆较大。 弦心距 d与圆的半径 R及弦长 l 球心到截面的距离 d

与球的半径之间的关系: R= 1 2+ d。 R及截面的半径 r有下面的关系: = r +( r

虽然类比的两个对象之间有许多相同或相近的属性 .但在细节上还是有显著差别的,通过类比。学生能灵活地掌握新知,科学地构建知识体系。 如果说“演绎推理”是学习真理的话,那么“类比推理” 则是发现真理。当科学家波利亚“让我们教猜想吧”的呼声拷问我们的数学教学时。我们应注重挖掘教材中潜在的类比资源,分析教材中哪些知识结构适合于类比教学,放手让学生通过类比推理掌握新的知识 .从而培养学生类比推理的能力 6 7

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