新高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式同步配套教学案新人教A版选修4_5
1 / 7新高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式同步
配套教学案新人教A 版选修4_5 排序不等式
对应学生用书P35
1.顺序和、乱序和、反序和
设a 1≤a 2≤…≤a n ,b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数,c 1,c 2,…,c n 为b 1,b 2,…,b n 的任一排列,称a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n 为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和),称a 1b n +a 2b n -1+…+a n b 1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和).称a 1c 1+a 2c 2+…+a n c n 为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和).
2.排序不等式(排序原理)
定理:(排序原理,又称为排序不等式) 设a 1≤a 2≤…≤a n ,b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数,c 1,c 2,…,c n 为b 1,b 2,…,b n 的任一排列,则有a 1b n +a 2b n -1+…+a n b 1≤a 1c 1+a 2c 2+…+a n c n ≤a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ,等号成立(反序和等于顺序和)⇔a 1=a 2=…=a n 或b 1=b 2=…=b n . 排序原理可简记作:反序和≤乱序和≤顺序和.
[说明] 排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时,所得两两乘积之和最大;反向单调(一增一减)时,所得两两乘积之和最小.
对应学生用书P35
用排序不等式证明不等式所证不等式中字母大小顺序已确定
[例1] 已知a ,b ,c 为正数,且a ≥b ≥c ,求证: a 5b 3c 3+b 5c 3a 3+c 5a 3b 3≥1a +1b +1c
. [思路点拨] 分析题目中已明确a ≥b ≥c ,所以解答本题时可直接构造两个数组,再用排序不等式证明即可.
[证明] ∵a ≥b >0,于是1a ≤1b
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