第4讲 复内积空间 (酉空间)

研究生矩阵论课程复内积空间的基本知识

第4讲 复内积空间 (酉空间)

内容：1. 复内积空间

2. 正规矩阵

3. Hermite 二次型

欧氏空间是针对实线性空间而言的，本讲先讨论复数域上线性空间的内积及其性质，然后将实二次型推广为复二次型，介绍厄米（Hermite ）二次型.

§1 复内积空间 (酉空间)

1. 复内积空间 (酉空间)

定义1.1 设V 是复线性空间,若对于V 中任意两个元素（向量）x 和y ,总能对应唯一的复数，记作),(y x ,且满足以下的性质：

（1）对称性 ;),(),(_____x y y x =

（2）可加性 );,(),(),(z y z x z y x +=+

（3）齐次性 ;),,(),(C k y x k y kx ∈∀=

（4）非负性 ,0),(≥x x 当且仅当0=x 时,0),(=x x

则称该复数是V 中元素（向量）x 和y 的内积.称定义了内积的复线性空间V 为酉空间(或称U 空间或复内积空间).

例1.1 在n 维向量空间n C 中，任意两个向量

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