3第三章微分中值定理与导数的应用

第三章 微分中值定理与导数的应用

【考试要求】

1．理解罗尔(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理及它们的几何意义，理解柯西(Cauchy)中值定理、泰勒(Taylor)中值定理。会用罗尔中值定理证明方程根的存在性。会用拉格朗日中值定理证明一些简单的不等式。

2．掌握洛必达(L’Hospital)法则，会用洛必达法则求“

00”，“∞

∞”，“∞⋅0”，“∞-∞”，“∞1”，“00”和“0∞”型未定式的极限。

3．会利用导数判定函数的单调性，会求函数的单调区间，会利用函数的单调性证明一些简单的不等式。

4．理解函数极值的概念，会求函数的极值和最值，会解决一些简单的应用问题。

5．会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

6．会求曲线的渐近线(水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线)。

7．会描绘一些简单的函数的图形。 【考试内容】

一、微分中值定理

1．罗尔定理

如果函数()y f x =满足下述的三个条件：

（1）在闭区间[,]a b 上连续；

（2）在开区间(,)a b 内可导；

（3）在区间端点处的函数值相等，即

()()f a f b =， 那么在(,)a b 内至少有一点ξ（a b ξ<<），使得()0f ξ'=．

说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点），即若

0()0f x '=，则称点0x 为函数

()f x 的驻点．

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