函数零点问题中参数范围的求解

在函数零点问题中求解参数范围 江山中学 杨作义 王芳

根据函数的零点情况，讨论参数的范围”是高考考查的重点和难点．对于这类问题，我们可以利用零点定理、数形结合思想、函数单调性与参数分离思想来求解．

一、利用零点定理求解参数范围

如果函数y f(x)在 a,b 上连续且满足f(a) f(b) 0，则y f(x)在区间(a,b)上至少存在一个零点，即存在c (a,b)，使得f(c) 0．这就是零点定理．

对于高中阶段常遇到的问题：“已知连续函数y f(x)在 a,b 上单调，且在区间(a,b)上存在一个零点，求参数的范围”可用f(a) f(b) 0求解．

例1 [2012年高考数学天津卷（理科）第4题改编] 已知函数f(x) 2 x a(a R)在区间(0,1)内存在一个零点，则实数a的取值范围是 ．

解：因为函数f(x)在区间(0,1)内存在一个零点，故f(0) f(1) 0，整理得(1 a)(3 a) 0，解得

x

3

1 a 3．所以，实数a的取值范围是(1,3)．

二、利用数形结合思想求解参数范围

如果通过变形，可以将函数f(x)转化为两个函数g(x),h(x)之差的形式，那么g(x),h(x)图象交点的横坐标就是函数f(x)的零点．因此对于含参数函数f(x) g(x) h(x)，我们可以利用数形结合思想作出g(x),h(x)的图象，并根据两图象的交点情况求解参数范围．

把原函数转化为两个函数时，要注意转化得到的两个函数的图象应该是比较容易画出的．在作图时，要利用函数奇偶性、单调性等性质，并标注出函数图象上的零点、最高点、最低点等一些特殊点，尽量把图象画准确，避免误判．

2

，x 2；

例2 [2011年高考数学北京卷（理科）第13题] 已知函数f(x) x若关于x的方程f(x) k

3 x 2． (x 1)，

有两个不等的实根，则实数k的取值范围是 ．

解：当x 2时，f(x)

2

，此时f(x)在 2, 上单调递减，且0 f(x) 1。当x 2x

3

时，f(x) (x 1)，此时f(x)过点(1,0),(0, 1)，且在 ,2 上单调递增。当x 2时，

f(x) 1。

如图1所示作出函数y f(x)的图象，由图可得f(x)在 - ，2 上单调递增且

图1

f(x) 1，f(x)在 2， 上单调递减且0 f(x) 1，故当且仅当0 k 1时，关于x的方程f(x) k有两个

不等的实根．即实数k的取值范围是 0,1 ．

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