56数学通报 2010年 第49卷 第7期
椭圆的伴随圆系及其性质
张小宇
(广东阳东县第一中学 529931)
1 椭圆的伴随圆的含义
所谓椭圆的伴随圆是指与椭圆有关的圆,如椭圆的内切圆是常见的一种伴随圆,文[1]中对抛物线的伴随圆系及其性质进行了研究,本文进一步对椭圆的伴随圆系性质进行探究.并且归纳出椭圆离心率的又一几何意义.
22
b>的内定理1 椭圆C=1a>
ba切圆系的方程为
2
4
2
2
右焦点弦为直径的伴随圆系的方程为
22
2222224xyb+akb+ak(b+ak)(k为参数,且k≠0)(c=-b).
(Ⅱ)
证明 因为C的右焦点的坐标为c,0,所以斜率为k焦点弦AB的方程为y=k(x-c),将其与C联立,分别消去x,y得b2+a2k2x2-2ca2k2x+a2k2c2-a2b2=0
2
0x2
a
22
①
+y
2
=
0(x0为参数,且-a≤x0≤a,c=4
a-b)
+2224
ay-b=0②kk
设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个根,而y1,y2是方程②两个根,于是由韦达定理,分别得
,x1x2;③x1+x2b+akb+ak224
y1+y2,y1y2;④
b+akb+ak设伴随圆的圆心为m,n,则有
1222
m2,
2b+a2k2122
n2b+ak设伴随圆的半径为R,则R2AB4
2
22
[(x1-x2)+(y1-y2)]42
2
2
2
2
2
2
(Ⅰ)
证明 设(x0,y0)为椭圆C上任意一点,则00有-a≤x0≤a,则该点的切线方程为+ab
=1.02
从而相应的法线方程为y-y0=·
x0b
x-x0.
因椭圆C关于x轴对称,且a>b>0,知所有内切圆的圆心必在x轴上,从而要求圆心的坐标只须令法线方程中y为零即可.0
由此可知圆心的横坐标为a2-b2,纵坐
a
20标为0,即圆心为,0.
a
设内切圆的半径为R,则R02
b2-x0a-a
2
2
4
2
2
2
2244222221+k-44(b+ak)b+ak(b+ak)
所以伴随圆系的方程为(Ⅱ).应注意的是,(Ⅱ)中漏掉一个,命k※∞即可“找回”这个圆:(x-c)+y.
a
2
2
4
2
4
2
2
=
+y0
2
2
0a2
可见内切圆系的方程为(Ⅰ).
=1a>定理2 椭圆Cb>0的以ab(上接第55页)由此知(▲)式成立.
由证明过程易知,当且仅当■ABC为正三角
1r23r
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