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椭圆的伴随圆系及其性质

56数学通报        2010年 第49卷 第7期

椭圆的伴随圆系及其性质

张小宇

(广东阳东县第一中学 529931)

1 椭圆的伴随圆的含义

所谓椭圆的伴随圆是指与椭圆有关的圆,如椭圆的内切圆是常见的一种伴随圆,文[1]中对抛物线的伴随圆系及其性质进行了研究,本文进一步对椭圆的伴随圆系性质进行探究.并且归纳出椭圆离心率的又一几何意义.

22

b>的内定理1 椭圆C=1a>

ba切圆系的方程为

2

4

2

2

右焦点弦为直径的伴随圆系的方程为

22

2222224xyb+akb+ak(b+ak)(k为参数,且k≠0)(c=-b).

(Ⅱ)

证明 因为C的右焦点的坐标为c,0,所以斜率为k焦点弦AB的方程为y=k(x-c),将其与C联立,分别消去x,y得b2+a2k2x2-2ca2k2x+a2k2c2-a2b2=0

2

0x2

a

22

+y

2

=

0(x0为参数,且-a≤x0≤a,c=4

a-b)

+2224

ay-b=0②kk

设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个根,而y1,y2是方程②两个根,于是由韦达定理,分别得

,x1x2;③x1+x2b+akb+ak224

y1+y2,y1y2;④

b+akb+ak设伴随圆的圆心为m,n,则有

1222

m2,

2b+a2k2122

n2b+ak设伴随圆的半径为R,则R2AB4

2

22

[(x1-x2)+(y1-y2)]42

2

2

2

2

2

2

(Ⅰ)

证明 设(x0,y0)为椭圆C上任意一点,则00有-a≤x0≤a,则该点的切线方程为+ab

=1.02

从而相应的法线方程为y-y0=·

x0b

x-x0.

因椭圆C关于x轴对称,且a>b>0,知所有内切圆的圆心必在x轴上,从而要求圆心的坐标只须令法线方程中y为零即可.0

由此可知圆心的横坐标为a2-b2,纵坐

a

20标为0,即圆心为,0.

a

设内切圆的半径为R,则R02

b2-x0a-a

2

2

4

2

2

2

2244222221+k-44(b+ak)b+ak(b+ak)

所以伴随圆系的方程为(Ⅱ).应注意的是,(Ⅱ)中漏掉一个,命k※∞即可“找回”这个圆:(x-c)+y.

a

2

2

4

2

4

2

2

=

+y0

2

2

0a2

可见内切圆系的方程为(Ⅰ).

=1a>定理2 椭圆Cb>0的以ab(上接第55页)由此知(▲)式成立.

由证明过程易知,当且仅当■ABC为正三角

椭圆的伴随圆系及其性质

1r23r

第1页

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