一元函数极值充分条件的讨论

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解题技巧与方法

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极债鲂 奈缔 讨论 ◎黄天富 蔡高明 (湄洲湾职业技术学院，福建莆田 3 5 1 2 5 4 )

【摘要】本文着重对一元函数极值充分条件进一步探 讨，得出一元函数极值一些判定方法 .

( 2 )当， ( )< m时，, ( 。 )为， ( )的极小值； ( 3 ) m≠M, m< )< M时', ( 。 )不是极值； ( 4 )若， ( 。 )=M(或f (。 )=m),则情况不定，应根据

【关键词】一元函数；极值；数学教学 引 言一元函数极值的存在性判定定理是数学分析中的重要内容，它为求解多元函数的极值做了铺垫，也是求解最值的基础，在科研和实际问题中一元函数极值的判定 定理也有广泛的应用.虽然教材上对一元函数极值的存在

函数单调性及‰两旁的值进行判定 . 证明不妨设 g= l i a r … 0+

),

( 1 ), ( 。 )> M,, ( o )一l i a, r ( )>0, …

x￣x l f"

l i a【 r, ( 0 )一， ( )】>0,

性判定定理做了介绍，但还是远远不够，还需要更加深入的

由极限的保号性可知存在占。> 0, E(‰,‰’+占。,

去探讨一元函数极值的存在性判定定理 . 一

, (‰ )一， ( )> 0,即， (。 )>, ( ) . 同理可证：存在占 > 0, ( o一占 , 。 ),取 6= ai r n (占。, 6 2 ), 则在领域 U (‰, 中，有‰ )> ‘

、一

元函数极值的第一充分条件 )在点‰连续，在。点的某个空心

定理 1设函数

),

邻域内可导 . ( 1 )如果当<‰时，厂( )>0;当> 。时，厂( )<0, 那么‰是极大值点 ( 2 )如果当。 )是函数 )的极大值 . 时，厂( )<0;当>。时，,( )>0, 。

.

.

, ( 。 )为， ( )的极大值 .

( 2 )可仿( 1 )证明. ( 3 )由( 1 )证明可知：

存在占> 0,∈( o, 0+艿 )时，/ o )</ ( );∈ ( o一占， )时。 )> ) 。 )不是， ( )

的极值. 二、一元函数极值的第二充分条件

那么。是极小值点，, (。 )是函数， ( X )的极小值 . ( 3)如果在点。的左右两侧，厂( )同号，那么。不是极值点，函数， ( )在点。处没有极值 . 问题 1若函数， ( )在点不连续，其他条件不变，那 结论是否成立？ 一

定理 2设函数， ( )在。点的某个空心邻域内具有一 阶和二阶导数，

且厂(‰ )= 0,尸( )≠O,则 ,

,一

1<<0,

( 1 )如果， ( 。 )< 0,则， ( )在点‰取得极大值； ( 2 )如果厂( 。 )> 0,则 )在点。取得极小值 .

I 1

例 1 已知函数八 )=?【 —}, = 0, o =

问题 2 函数， ( )在。点的某个空心邻域内具有一阶 ,

和二阶导数且厂( 。 )= 0 (。 )= 0,则。是不是函数 f ( ) 的极点？ 例3 ( 1 )= 0是不是 Y=2 x+3的极点？ ( 2 )=0是不是 Y=一2 x +1的极点？

0是不是函数，,=, ( )的极点？

结论是显然：= 0不是函数 Y= -厂 ( )的极点 . 一

÷<< 0时 0 )>, ( ); 0<<1时 0 )<, ( ) . r一 ,一 1< <0,

显然这两个函数在=0处的某个空心邻域内具有一

例2 已知函数， ( )=J 2,= 0,

= 0是不是

阶和二阶导数，都有厂( 0 )=0,尸( 0 )=0,但=0是，,= 一

【+ 1, 0<≤1, 函数 Y=, ( X )的极点？

2 +1的极点，=0不是 y=2 x +3的极点 .

那么在“问题 2”的条件下，函数f ( )满足什么条件。 才是极点？

解 取占=÷,当 (一÷, o )时， 0< f ( x )<÷,当 e

定理 3设函数 f ( )在的某一个邻域内存在直到 n一1阶的导数，且在‰处 n阶可导，且厂( 。 )=尸(。 )=

( 0专)时， l< f ( x ) ÷ . s (一 1,÷ ),, ( ) , ( o ): 2 ( 0 )的极大值 . 一

尸 (‰ )…一

”( 。 )= 0

(。 )≠

0,则当

( 1 )n为偶数时 )在‰处取得极值，且当，”( )< 0 时 )在‰取得极大值；当，”( 。 )>0时， f ( )在。处取 得极小值.

般的函数， ( )在点‰不连续有定义，在。点的某个

空心邻域内可导，则函数在间断点处取得极值情况： 设： M=m a x (1 i mf ( ),l i a r f ( ) ), m:r a i n (1 i af r ( ), l i a r ) ),则

( 2 )当 n为奇数时，, ( )在。处不取极值. 证明 ( 1 )由泰勒公式和已知条件可得 :

( 1 )当， (‰ )>M时，, ( 。 )为， ( )的极大值；

AX o )+

(…

。 )+

(…

+. .,+

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