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高数下多元复合函数的求导法则

第四节 多元复合函数求导法则

一、 复合函数。

定义:设函数z是u、v的二元函数:z f u

,v 它的定

义域为D。而u、v又都是x、y的二元函数:

u x,y ,v x,y ,并且当 x,y 某区域E

上取值

时,对应的 u,v 在D上,于是可复合成函数

z f x,y , x,y

其定义为E。 二、复合函数求导法则

定理1:如果u导数,而z f u

x,y ,v x,y 在点 x,y 处有偏

,v 在对应的点 u,v 处有连续偏导数,则

, x,y 在点 x,y 处有偏导数

z x

复合函数z f x,y

z y

,并且有

z x

fu

u x

fv

v x

z y

fu

u y

fv

v y

证明:

z f x x,y y , x x,y y f x,y , x,y

f x x,y y x,y x,y , x x,y y xy x,y f x,y , x,y

f u u,v v f u,v

又因为f u,v 在点 u,v 有连续的偏导数,因此在点 u,v 可 微。所以

z

z u

u

z v

v u v

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