高中“解析几何”常用的数学思想方法

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“解析几何”中常用的数学思想方法”

数学思想是数学的灵魂，是将知识转化为能力的桥梁，也是解决问题的思维策略．《解析几何》内容中蕴含着丰富的数学思想，例谈如下：

1.数形结合的思想

数形结合是研究曲线与方程的最重要的思想方法．应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.

例1．如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点）

，使得PM

,试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹

方程．

思路分析：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：ＰＭ＝2PN,即 ＰＭ＝２ＰＮ，结合图形由勾股定理转化为：PO

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1 2(PO

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1),设

P(x,y),由距离公式写出代数关系式,化简整理得出所求轨迹方程

解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O1（-2，0），O2（2，0），由已知：ＰＭ＝2PN,即ＰＭ＝２ＰＮ，因为两圆的半径都为1,所以有：PO1 1 2(PO2 1)，设P（x,y）则（x+2）2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]，

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即(x 6) y 33

综上所述，所求轨迹方程为：(x 6) y 33（或x y 12x 3 0）． 2.分类讨论的思想

所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。

例2．在平面直角坐标系中，已知矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使Ａ点落在线段ＤＣ上．

（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程； （Ⅱ）求折痕的长的最大值。

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