高中数学解题思想方法技巧：参数开门 宾主谦恭

第34计 参数开门 宾主谦恭

●计名释义

参数，顾名思义，是种“参考数”.供谁参考，供主变量参考.因此，参数对于主元，是种宾主关系，他为主元服务，受主元重用.

在数学解题的过程中，反客为主，由参数唱主角戏的场景也异常精彩.

有趣的是，“参数何在，选谁作参”的问题又成了解题破门的首要问题.此时，你有两种选择，一是参数就立足在面前，由你认定；二是参数根本不在，要你“无中生有”.

●典例示范

y2

【例1】 P、Q、M、N四点都在椭圆x+=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知PF与FQ共22

线，MF与FN共线，且PF·MF＝0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.

【分析】 四边形“没有”面积公式，因此难以用某边长为参数，建立面积函数式.

幸好，它有两条互相垂直的对角线PQ和MN，使得四边形面积可用它们的乘积来表示，然而，它们要与已知椭圆找到关系，还需要一个参数k，并找到PQ，MN对k的依赖式.这就要“无中生有”了.

【解答】 如图，由条件知MN和PQ

是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1），

且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条

存在斜率，不妨设PQ的斜率为k.

【插语】 题设中没有这个k，

因此是“无中生有”式的参数.

我们其所以看中它，是认定它

不仅能表示|PQ|= f1(k)，还能表示|MN|= f2(k). 例1题解图

【续解】 又PQ过点F（0，1），故PQ方程为y=kx+1，将此式代入椭圆方程得（2+k2)x2+2kx-1=0，设P、Q两点的坐标分别为（x1，y1)，(x2，y2)，则

k 2k2 2 , xx1=22 k

222 k 2k2 2， 22 k8(1 k2)222(1 k2)从而｜PQ｜＝(x1-x2)+(y1-y2)=, 亦即|PQ|=. (2 k2)22 k22

【插语】 无论在椭圆方程中，还是P，Q，M，N的坐标中，x,y是当之无愧的主元.而这是新的函数关

22(1 k2)系|PQ|=f1(k)=标志着主宾易位，问题已经发生了转程. 2 k2

【续解】 (ⅰ)当k≠0时，MN的斜率为-1，同上可推得， k

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