构造特殊数列 巧求通项公式——从一道高考数学试题谈起

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应

试

构造特殊数列巧求通项公式 ——

从一道高考数学试题谈起 ( 4o) 2 3o 2 曹玉兰

江苏省射阳中学 20年高考数学试题 ( 03江苏卷)的压轴题是一道关于二次函数、数列和不等式的综合问题： 设 n 0如图 1已知直线 Z>,,: 1似及曲线 C 1 ,,=:= C上的点，

()%与%+的关系， 1求 1并写出数列{的通%}项公式； () n,l 时证明 2当=1n≤ 1 ,

Q的横坐标为 n (< 1 ) 1 l 0 n<n, 从 C上的点 9 (≥1作直线平 n )行于轴，交直线 Z于点+,】再 =

(饥 l

+) 2 1< 1; 一

(当口 1,明一 1 2{. 3=时证∑(++ ) )< 解 . (, )+( n n )’ n, 2,, 图1 。

从点+作直线平行于轴， l交 曲线 C于点+, 1 (=12 n,,

3……),的横坐标构成数列{ . n} 各；

( 2: 1 ) n ,

‘

.

+ =

手 苔葛 荟

葛

备

苕

各

解 ’ . .

‘n .≥2时， 1‘ n=S一S一，

即{ 列 .

}是一个首项为 l公比为4的等比数， =4, .%=1 . . 6

由 n+ SS一=, S一S一=一 SS一 2 1 0得 1 2 1 = .

.

. .

-即一 2 z击= - 数}个项去2差 2列1一首为=公为的是，

七、 }%利用{求 n

例 8已知数列{}口 n, 1=9且满足，

等差数列 -. 2 n 1×= n - 1=+(一 ) 2 2 _ , . - . .

s 1= .

%+— a= , 1 3 63求其通项公式 .

当 n时，≥2 = 1 一

解 .一3= .一= n6 ; 2 ,. =一 . .

n= s一 s

{}一首为=公为的差是个项寻 3差 2等， n=(n )3 2+1 .

显然上式对 n 1=不成立， 1

数列√.=+ n ) 2 2+1 3 (一1×= n,

r ‘

( n=1 ) .

.

n

一

一

!

(≥ ) n 2 一

八、利用函数方程的思想求%

六、利用{,} 、求%/ 例7已知数

列{}足%>0 n=1 %满，1, 1 : .

例 9已知函数，= 2数列{} ( 2一一， ) n满足 ,1‰) 2, (g=一 n求数列{} o a%的通项公式 . 解‘ (= 2 . ) 2一 ’,=Q一 1 ' n,1 '= 一一 (&Q) 2 0 n 2,1 ) 2 (&=一 n 0 1 一

nn 1一斗nn+

j

求其通项公式.

解 . .

‘ .‘

n一n n斗{+n, j =

‘ .

1

‰+—4一3 1 a

=0

=

一

2, n

n+2 n一1=0 2 m n

- . .

(

一4 . - .

) ( +

+ >0

)0=

解得：:一±/ n n￣ _ 由题设知 n>, . √n+一n 0 = 1 . . n .

.

->0 n, .

- .

、

一

4/:,、￣ 0 r

: 4

(收稿日： 04 0一 4期 20— 6 O )

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