当前位置： 文档下载 > 所有分类 > 高中教育 > 数学 > 高三数学 > 高中数学竞赛平面几何讲座第五讲：三角形的五心2011年北京市数学竞赛辅导
第五讲 三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心.
三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.
例1．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交
AC于N.作点P关于MN的对称点P′.试证：P′点在△ABC外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)
AP分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP
=NC，故点M是△P′BP的外心，点
N是△P′PC的外心.有
11BC ∠BP′P=∠BMP=∠BAC， P2211
∠PP′C=∠PNC=∠BAC.
22
∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.
从而，P′点与A，B，C共圆、即P′在△ABC外接圆上. 由于P′P平分∠BP′C，显然还有 P′B:P′C=BP:PC.
例2．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，
△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似. (B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
A分析：设O1，O2，O3是△APS，△BQP，
△CSQ的外心，作出六边形 KO1PO2QO3S后再由外
心性质可知 OBC ∠PO1S=2∠A， Q
∠QO2P=2∠B， ∠SO3Q=2∠C.
∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+
∠O2QO3+∠O3SO1=360°
将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，同时可
得△O1O2O3≌△O1KO3.
1
∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2O1K
2
1
=(∠O2O1S+∠SO1K)
21
=(∠O2O1S+∠PO1O2)
21
=∠PO1S=∠A；
2
同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.
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