当前位置： 文档下载 > 所有分类 > 高等教育 > 研究生入学考试 > 2007xdf线代强化讲义(第4-6章与附录部分)第四讲 向量组的线性关系与秩
一．概念复习
1．线性表示关系
设α1,α2, ,αs是一个n维向量组。
如果n维向量β等于α1,α2, ,αs的一个线性组合，就说β可以用α1,α2, ,αs线性表示。
如果n维向量组β1,β2, ,βt中的每一个都可以用α1,α2, ,αs线性表示，就说向量β1,β2, ,βt可以用
α1,α2, ,αs线性表示。
判别“β是否可以用α1,α2, ,αs线性表示？表示方式是否唯一？”就是问：向量方程 x1α1+x2α2+ +xsαs=
β
是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程，就是以
(α,α
1
2
, ,αsβ)为增广矩阵的线性方程组。反
之，判别“以Aβ为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？”的问题又可转化为“β是否可以用A的列向量组线性表示？表示方式是否唯一？”的问题。
向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系：乘积矩阵AB的每个列向量都可以表示为A的列向量组的线性组合，从而AB的列向量组可以用A的列向量组线性表示；反之，如果向量组β1,β2, ,βt可以用
()
α1,α2, ,αs线性表示，则矩阵(β1,β2, ,βt)等于矩阵(α1,α2, ,αs)和一个s×t矩阵C的乘积。C可以这
样构造：它的第i个列向量就是βi对α1,α2, ,αs的分解系数（C不是唯一的）。
向量组的线性表示关系有传递性，即如果向量组
β1,β2, ,βt可以用α1,α2, ,αs线性表示，而
α1,α2, ,αs可以用γ1,γ2, ,γr线性表示，则β1,β2, ,βt可以用γ1,γ2, ,γr线性表示。
当向量组
α1,α2, ,αs和β1,β2, ,βt互相都可以表示时，就说它们等价，并记作
{α1,α2, ,αs} {β1,β2, ,βt}。
等价关系也有传递性。
2．向量组的线性相关性
（1）定义（从三个方面看线性相关性）
线性相关性是描述向量组内在关系的概念，它是讨论向量组α1,α2, ,αs中有没有向量可以用其它的s 1
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