链式法则的一般形式

链式法则的一般形式

链式法则的一般形式 若u = f (x1,…, xn), x i = i (t1 ,…, tm), (i = 1, …, n), 则

nn u u xi (j = 1, …, m). 总之, 复合函数对自变量的偏导数 utj uxi(xi)tj, 即 tji 1 xi tji 1

等于所有对中间变量的偏导数与中间变量对自变量的偏导数之积的和.

特例: (t) = f (tx) = f (tx1,…, tx n), ' (t) = x1 D1 f (tx) + … + xn Dn f (tx).

*△(齐次函数的Euler公式) (p.123.6对三元函数) 若存在k使f : Rn→R满足f (tx) = t k f (x) (t > 0, x∈Rn. 书上的定义中k > 0, t∈R), 则称f为k次齐次函数. 证明: 可微函数f是k次齐次函数 x1D1 f + … + xn Dn f ( = (grad f , x)) = kf . (*)

证 f (tx) = t k f (x). 两端对t求导, 得x1D1 f (tx) + … + xn Dn f (tx) = k t k 1 f (x). 令t = 1得(*). 设 (t) = f (tx) / t k , ( 即证 (t ) = f (x). 由 (1) = f (x), 只要证 (t) = (1), 即 11证 常值), 则 可微, ' (t) =2k( t k (x1 D1 f (t x) + … + xn Dn f (t x)) k t k 1 f (x) ) =k 1 tt( t x1 D1 f (tx) + … + txn Dn f (tx) k f (tx)) ( 以txi代条件(*)中的xi) = 0, 故 常值, (t) =

(1) = f (x), f (tx) = t k f (x). yy *Euler公式的应用. (1) 证明u = x f () + y g () 满足x 2 u xx + 2 xy u xy + y 2 u yy = 0. xx

(2) p.143.3(2).

解 (1) (u是一次齐次函数) 用两次Euler公式.

(2) u是 1 + 2 +…+ (n 1) = ½ n (n + 1)次齐次函数.

6u 3 3 补充练习 △ u = xsin y + ysin x, 求33. ( 6 (cos x + cos y) x y

△ u = e xyz, 求uxyz . ( e xyz (1 + 3xyz + x2 y2 z2 ))

p qu△ u = (x a) p (y b) q, 求pq. (p ! q !) x y

x y2( 1)p(p q 1) !(qx py) p qu△ u =, 求pq. () x y x y(x y)p q 1

y△ 证明 z = x n f (2)满足方程 x zx + 2 y zy = nz. x

△ 证明 z = y f (x2 y 2)满足方程 y2 zx + xy zy = xz . 11413 △ 已知 u =x x(y + z) +x2 yz + f (y x, z x), 化简 ux + uy + uz . (xyz) 1262

△ 证明u = (x at) + (x + at) 满足u tt = a2 u xx .

△ 证明u = x (x + y) + y (x + y)满足u xx 2 u xy + u yy = 0.

△ 设 u = ln x, v = ln (y + y2), 以u, v为自变量变换方程x zx + y2zy = xy. (zu + zv = e u sh v)

△ 设x = r cos , y = r sin , 变换 (1) x uy y ux ; (2) x ux = y uy ; (3) x2 u xx + 2 xy u xy + y2 u yy . ( (1) u ; (2) r ur ; (3) r 2 u rr .)

△ 设x = r sin cos , y = r sin sin , z = r cos , 变换ux2 + uy2 + uz2 . (ur2 + r 2 u 2 + (r sin ) 2 u 2 )

七. 方向导数与梯度

偏导数是函数沿坐标轴方向的变化率, 方向导数是函数沿任意方向的变化率.

f(a tl) f(a)存在, 则称 t 0t f f之为f在a沿方向l的方向导数, 记为Dl f (a), fl (a),(a),等. la l设f : D ( Rn)→R, a∈D°, l为方向(| l | = 1) 若极限lim若记g (t) = f (a + t l ), 则D l f (a) = g ' (0). 设l = (l1,…, l n), a = (a1,…, a n), 则 g (t) = f (a + t l ) = f (a1 + tl1,…, an + tl n). 由链式法则(u = f (x), x = a + t l ), 当f在a可微时, g ' (t)

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