《线性代数》第7章习题解答new3-1

线性代数答案全集

习题七（P274－276）

1．设 , R3，以下哪些函数( , )定义了R的一个内积？ （1）( , ) a1b1 a2b2 a3b3 2a2b3 2a3b2， 否 （2）( , ) a1b1 a2b2 a3b3 a2b3 a3b2 ， 是

222222

（3）( , ) a1b1 a2b2 a3b3 ， 否

3

（4）( , ) a1b1 a3b3 ， 否 2.以下哪些函数定义了C[ 1,1]上的一个内积.

（2）(f,g) （3）(f,g)

（1）(f,g) （5）(f,g)

1

11 11

f2(x)g2(x)dx （ ） xf(x)g(x)dx （ ）

1

x2f(x)g(x)dx （√）

1

（4）(f,g)

1

xf(x)g(x)dx （ ）

1

1

e xf(x)g(x)dx （√）

n

n

3．设A是正定矩阵，在R中对任两个向量 (x1,x2, ,xn)T， (y1,y2, ,yn)T，定义( , ) TA ，证明：在这个定义下R构成欧氏空间，并写出这个空间的柯西——施瓦兹不等式.

证明：（1）( , ) TA ( TA )T ( , ) （2）(k , ) (k )TA k( TA ) k( , )

（3）设： Rn,( , ) ( )TA TA TA ( , ) ( , )

T （4）由A的正定性知( , ) A 0，当且仅当 0时， TA 0，即

( , ) 0，从而Rn在( , ) TA 定义下构成欧氏空间。

又

( , )

T

A.柯 西 ——施瓦兹不等式

为

( TA )

4． 在R中，求 , 之间的夹角 （1） (2,1,3,2)

4

, （内积按对应分量乘积之和）.

(1,2, 2,1)

(3,1, 1,0) （2） (1,1,1,2)

解：（1

）( , ) 0. ,

2

（2

）( , ) 3.

cos,

( , ) ，从而

, arc4

5．在R中求一单位向量与 1,1, 1,1 , 1, 1, 1,1 , 2,1,1,3 正交. 解：设所求向量为 (x1,x2,x3,x4)，应有：

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