《线性代数》第3章习题解答

线性代数答案与课件,化学工业出版设

1．已知向量： 1 [5, 1,3,2,4]T,3 1 4 2 [3, 7,17, 2,8]T, 求2 1 3 2 解: ∵ 1T

2 4{[3, 7,17, 2,8] [15, 3,9,6,12]T

}

14

[ 12, 4,8, 8, 4]T

[3,1, 2,2,1]T

T

T

∴

21 3 2 [10, 2,6,4,8] [9,3, 6,6,3]

[19,1,0,10,11]

T

2.设 1 [2,5,1,3]T, 2 [10,1,5,10]T,

3 [4,1, 1,1]T,并且3( 1 ) 2( 2 ) 5( 3 ) 0 求 解:

∵ 6 3 1 2 2 5 3 T

[6,15,3,9] [20,2,10,20]T

[20,5, 5,5]T

[6,12,18,24]T,

∴ [1,2,3,4]T.

3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 k1 k2 km 0时，

k1 1 k2 2 km m 0成立， 则向量组 1, 2, m线性相关

解：不正确.如： T

T

1 1,2 , 2 3,4 ，虽然 0 1 0 2 0,但 1, 2线性无关。(2) 如果存在m个不全为零的数k1,k2, ,km,使

k1 1 k2 2 km m 0,则向量组 1, 2, , m线性无关。

解： 不正确. 如 TT

1 1,2 , 1 2,4 ,存在k1 1,k2 2,使 1 2 2 0,但显然 1, 2线性相关.

(3) 如果向量组 1, 2, , m线性无关,则其中任何一个向量都 不能由其余向量线性表出.

解： 正确。（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 1, 2, , m线性相关，与题没矛盾。

(4) 如果向量组 1, 2, 3线性相关，则 3一定可由 1, 2线性表示。

解：不正确。例如： TTT

1 0,0,0 , 2 0,1,0 , 3 0,0,1 ,向量组 1, 2, 3线性相关，但 3不能由 1, 2线性表示。

(5) 如果向量 可由向量 1, 2, 3线性表示，即： k1 1 k2 2 k 3,则表示系数k1,k2,k3不全为零。

解：不正确。例如： 0,0,0 T

, 1 1,0,0 T

, T

2 0,1,0 ,

0,0,1 T

3, 0 1 0 2 0 3，表示系数全为0。

(6) 若向量 1, 2线性相关， 1, 2线性无关，则 1, 2, 1, 2线性相关. 解：正确。因 1, 2线性相关，即存在不全为零的数k1,k2,使

k1 1 k2 2 0,从而k1 1 k2 2 0 1 0 2 0.因k1,k2,0,0不全为零，所以

1, 2, 1, 2线性相关。

4.判断向量 能否由向量组 1, 2, 3, 4线性表示，若能，写出它的一种表示方式。 (1) 1,1,2,2 T

, T

1 1,1,0,0 , 2 2,2,0,0 T

,

3 0,0,1,1

T

，

T

4 0,0, 1, 1

解：显然 1 2 3 1 3 4 (2) 1, 2,5 T

,

TT1 1,1,1 , 2 1,2,3 , 3 2, 1,1 T， T

4 0,0,0 .

解： 设 1 1 2 2 3 3,得到方程组 x1 x2 2x3 1

x2 2x2 x3 5

x3

3x2 x3 5

对方程组的增广矩阵作初等行变换，得到： 1

121 1

121

1054

A 1

2 1 2 r2 r1 1 3 3

r1 r2 01 3 3 5 r 1

3

1 3 r0 1 02

14 r 3 2r 2 0

5

10

1

054 1

00 6 101 3 3 r2 5r3 103 5r3 0

1

2 r0 0

2 3r 3 0

1

2

故 x1 6,x2 3,x3 2

, 6 1 3 2

2 3

0 4 .

-1-

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