华中科技大学2004年数学分析考研试题解答

1．

解由an xn xn 1（n 1），得

a(x

nn 1

2222

． x) (x x) lim(x x) limx b nn 1kk 1n

2

n

2n 1

n 1

n

k 1

n

n

2．

证明将f(1)、f(0)在x点（0 x 1）用Taylor公式展开并相减，则得

f(1) f(0) f'(x)

11

，由于f(0) f(1)，因此得f''( )(1 x)2 f''( )(0 x)2（0 , 1）

22

11

f'(x) (1 x)2f''( ) x2f''( ) (1 x)2 x2 1．

22

2

2

此不等式可以改进为：f'(x) 1（0 x 1），因为0 x 1时，上式(1 x) x 1．3．证明

1

(1 t)[x

1

2

f11(tx,ty) 2xyf12(tx,ty) y2f22(tx,ty)]dt

1

1df(tx,ty)d2f(tx,ty)df(tx,ty) (1 t) (1 t) 2 00dtdtdt0

df(tx,ty)1

f(tx,ty)0

dtt 0

(xf1'(0,0) yf2'(0,0)) f(x,y) f(0,0) f(x,y)

4．

证明（反证法），假设f(x0,y0)不是f(x,y)在x,y 0上的最大值。由于2lim2

存在r 0，当x y r,x 0,y 0时，f(x,y) f(x0,y0)。

考察闭区域D {(x,y):x 0,y 0,x y r}，显然(x0,y0) D，由已知f(x,y)在D上连续，从而f(x,y)在D上取得最大值，设为f(x1,y1)。显然在 D上，总有f(x,y) f(x0,y0)，因而必有：

2

2

2

2

x y

f(x,y) 0，

f'x(x1,y1) f'y(x1,y1) 0。当x2 y2 r,x 0,y 0时，f(x,y) f(x0,y0) f(x1,y1)，因此f(x1,y1)是f(x,y)在x,y 0上的最大值。由假设，(x1,y1) (x0,y0)。

这与已知矛盾，可知假设不真。

5．设处处有f''(x) 0．证明：曲线y f(x)位于任一切线之上方，且与切线有唯一公共点．证明设(x0,y0)为曲线y f(x)上任一点，在该点处曲线的切线方程为

y f(x0) f'(x0)(x x0)

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