高中数学竞赛平面几何讲座第二讲：巧添辅助 妙解竞赛题

高中数学竞赛

第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题

在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.

1 挖掘隐含的辅助圆解题

有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆

A例1 如图1,在△ABC中,AB＝AC,D是底边BC

上一点,E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝

E∠A.求证：BD＝2CD.

分析：关键是寻求∠BED＝2∠CED与结论的联系.

B容易想到作∠BED的平分线,但因BE≠ED,故不能 F

直接证出BD＝2CD.若延长AD交△ABC的外接圆 图1于F,则可得EB＝EF,从而获取.

证明：如图1,延长AD与△ABC的外接圆相交于点F,连结CF与BF,则∠BFA＝∠BCA＝∠ABC＝∠AFC,即∠BFD＝∠CFD.故BF:CF＝BD:DC.

又∠BEF＝∠BAC,∠BFE＝∠BCA,从而∠FBE＝∠ABC＝∠ACB＝∠BFE. 故EB＝EF.

作∠BEF的平分线交BF于G,则BG＝GF. 因∠GEF＝

1

∠BEF＝∠CEF,∠GFE＝∠CFE,故△FEG≌△FEC.从而GF＝FC. 2

于是,BF＝2CF.故BD＝2CD. 1.2 利用四点共圆 CB例2 凸四边形ABCD中,∠ABC＝60°,∠BAD＝ D∠BCD＝90°,

AB＝2,CD＝1,对角线AC、BD交于点O,如图2. 则sin∠AOB＝____.

分析：由∠BAD＝∠BCD＝90°可知A、B、C、D

P

四点共圆,欲求sin∠AOB,联想到托勒密定理,只须求出BC、AD图2即可.

解：因∠BAD＝∠BCD＝90°,故A、B、C、D四点共圆.延长BA、CD交于P,则∠ADP＝∠ABC＝60°.

设AD＝x,有AP＝3x,DP＝2x.由割线定理得(2＋x)x＝2x(1＋2x).解得AD＝x＝23－2,BC＝

1

BP＝4－3. 2

由托勒密定理有

BD·CA＝(4－3)(2－2)＋2×1＝103－12.

又SABCD＝S△ABD＋S△BCD＝

3. 2

第1页下一页