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浙江 曾安雄
求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x0，y0)及斜率，其求法为：设P(x0，y0)是曲线y f(x)上的一点，则以P的切点的切线
方程为：y y0 f (x0)(x x0)．若曲线y f(x)在点P(x0，f(x0))的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为x x0．
下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程
此类题较为简单，只须求出曲线的导数f (x)，并代入点斜式方程即可． ， 1)处的切线方程为（ ） 例1 曲线y x3 3x2 1在点(1
Ａ．y 3x 4 Ｂ．y 3x 2 Ｄ．y 4x 5
Ｃ．y 4x 3
2
， 1)处斜率k f (1) 3，故所求的切线方程为解：由f (x) 3x 6x则在点(1
y ( 1) 3(x 1)，即y 3x 2，因而选Ｂ．
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．
例2 与直线2x y 4 0的平行的抛物线y x2的切线方程是（ ） Ａ．2x y 3 0 Ｃ．2x y 1 0
Ｂ．2x y 3 0 Ｄ．2x y 1 0
解：设P(x0，y0)为切点，则切点的斜率为y |x x0 2x0 2． ∴x0 1．
，．故切线方程为y 1 2(x 1)，即2x y 1 0，故选Ｄ． 由此得到切点(11)
评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用 法加以解决，即设切线方程为y 2x b，代入y x2，得x2 2x b 0，又因为 0，得b 1，故选Ｄ．
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． ， 1)的切线方程． 例3 求过曲线y x3 2x上的点(1
解：设想P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y |x x0 3x02 2．
∴切线方程为y y0 (3x02 2)(x x0)．
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