Oldroyd B型流体有限元解的收敛性分析

第33卷 第12期 湖南科技学院学报 Vol.33 No.12 2012年12月 Journal of Hunan University of Science and Engineering Dec.2012

Oldroyd B型流体有限元解的收敛性分析

张宏伟 温一灿

（长沙理工大学 数学与计算科学学院，湖南 长沙 410004）

摘 要：复杂流体属于非牛顿流体的范畴，是介于流体和固体之间的，具有复杂本构关系的物质。比如日常生活中常见的洗发液、油漆、润滑剂等；人体的血液；液晶等很多高分子聚合材料，超导性物质等都是复杂流体。Oldroyd不可压缩粘弹性流体力学模型就是解决此类复杂流体动力学中经典且著名的模型之一。同时此类Oldroyd B型流体模型的问题一直都是有限元研究的一个热点问题。对于粘弹性流体的Oldroyd B型流体模型建立了一种两层网格方法，并分析此方法解的收敛性和它的误差估计。首先对Oldroyd B型流体模型构造有限元空间对时间离散化。其次在初始的两层网格法的基础之上再在细空间上解两个牛顿迭代的线性方程组，这样粗网格上解的进度得到提高。从而使得此算法具有更好的进度和效率。

关键词：Oldroyd B型流体模型；收敛性分析；存在性唯一性

中图分类号：O242.21 文献标识码：A 文章编号：1673-2219（2012）12-0001-05

1．模型介绍

Oldroyd不可压缩粘弹性流体力学模型的控制方程为：

(u ) ga( , u) 2 d(u) 0，在 ×[0,T] 上 (1.1)

ut 2(1 ) d(u) p f

，在 ×[0,T] 上 (1.2)

(1.4)

u 0，在 ×[0,T] 上 (1.3) u=0， 在Γ×[0,T] 上

为R2中边界为Γ的多边形区域，σ是应力张量，u是流速，p是流体压力。α为延滞参数(当α = 0时, 问题退化为协旋转Maxwell问题, 当α= 1时, 问题退化为对流Maxwell问题)。这两类问题已有专门文献资料研究，所以本文只考虑0<α<1的情形。λ≥0为Weissenberg常数。d(u)

1

( u uT)是形变率张量。ga为从R4×R4到R4×R4的双线性映射。 2

1 1

ga( , u) w(u) w(u) (d(u) d(u))=( u uT ) ( u uT )

22

1T

其中w(u)为扭曲张量且w(u) ( u u)。

2

设：

12

T { ( ij); ij L2( ),i 1,j 2}，X H0( )2，Q L20( ) {q L( ); q 0}

则可得到问题(1.1)到(1.4)的弱形式：即求(σ,p,u) T×X×Q使其满足：

( , ) ((u ), ) (ga( , u), ) 2 (d(u), ) 0， T(ut,v) ( ,d(v)) 2(1 )(d(u),d(v)) (p, v) (f,v)， v X

收稿日期：2012－10－18

(1.5)

(1.6)

作者简介：张宏伟（1966－），男，山东惠民人，教授，博士，主要从事偏微分方程数值解的研究。温一灿（1987－），男，山西平遥人，硕士在读，主要从事偏微分方程数值解的研究。

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