物理习题中的辅助圆

物理辅助圆之等时圆专题

巧构辅助圆 妙解物理题

浙江海盐元济高级中学（314300）王建峰 浙江海盐高级中学（314300）马永芬

解物理习题时，若能巧借辅助圆，将会产生意想不到的效果。辅助圆按其作用与功能可分为“矢量圆、等时圆、等势圆、动态圆、谐振圆”。本文试想通过几例来阐述辅助圆在解题中的妙用。 1 矢量圆

矢量即有大小，又有方向，且运算时满足平行四边行法则。在矢量的合成与分解中若能借助“矢量圆 ”就能有效地化繁为简，并能加深对矢量概念的理解。

D 例1 一条宽为L的河流，水流速为u，船在静水中划行的速度为v ，且v＜u。要使船到达对岸的位移最短，船的航向如何？

解析 水流速u、船在静水中的速度v与船的合速度v1构成一矢量三角形，且船在静水中的速度v 大小不变，方向不定，构建如图1所示的矢量圆。显然，当AD与矢量圆相切时，船航行的位移最短。由图可得船的航向与河岸的夹角 arccos2 等时圆

如图2所示，竖直放置的圆环，若物体从最高点沿各光滑弦加速下滑，其下滑的时间相等，且时间t

4Rg

vu

图1

。

（R为圆环的半径，g 为重力加速度），这样的圆环称

之为“等时圆”。在解决有关动力学问题时，恰当地构建等时圆不但能化解难点，而

图2

且能激发学生的解题思维。

例2 两光滑斜面的高度都为h，OC、OD两斜面的总长度都为l，只是OD斜面由两部分组成，如图3所示，将甲、乙两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球先到达斜面底端？ 解析 （解法1）本题往往采用v-t图象求解，作出物体分别沿OC、OD斜面运动的v-t图象（如图所示4），由图象可得乙球先到达斜面底端。

（解法2）构建如图5所示的等时圆，交OC于A点，交OD于B点。由“等时圆”可知，tOA t0B。

vC vD，vB vA，由机械能守恒定律可知：所以BD AC。又因为两斜面的总长度相等，所以sBD sAC，

图3

D

C

根据

st

得，tBD tAC，所以有t甲 t乙，即乙球先到达斜面底端。

3 等势圆

点电荷的等势面是以点电荷为圆心的圆面组成，这样的圆面称之为“等势圆”。借用等势圆来解题能化

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