抽象函数经典综合题33例(含详细解答)

抽象函数经典综合题33例

抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。

1．定义R上的函数y f(x),f(0) 0，当x 0时，f(x) 1，且对任意的a、b R，有

（3）求证

1112n 5

f(x)f(x)f(x)n 212n

(Ⅰ)证明：令x＝y＝0，∴2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0

令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0 ∴f(x)＋f(－x)＝0 ∴f(－x)＝－f(x) ∴f(x)为奇函数 f(a b) f(a)f(b)，

（1）求证：f(0) 1；

（2）求证：对任意的x R，恒有f(x) 0； （3）证明：f(x)是R上的增函数；

（4）若f(x) f(2x x2) 1，求x的取值范围。

2．已知函数f(x),g(x)在R上有定义，对任意的x,y R有f(x y) f(x)g(y) g(x)f(y) 且f(1) 0（1）求证：f(x)为奇函数

（2）若f(1) f(2)， 求g(1) g( 1)的值

解（1）对x R，令x=u-v则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)- g(u)f(v)]=-f(x)

（2）f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0

∴g(-1)+g(1)=1

3．已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x y) f(x) f(y)且当x 0，f(x) 0.又f(1) 2. （1）判断f(x)的奇偶性；

（2）求f(x)在区间[－3,3]上的最大值；

（3）解关于x的不等式f(ax2

) 2f(x) f(ax) 4.

4．已知f(x)在(－1，1)上有定义，f(1

2

)＝－1，且满足x，y∈( 1,1)有f(x)＋f(y)＝f(x y1 xy)

（1）证明：f(x)在(－1，1)上为奇函数；

（2）对数列x1＝

1

2，x2xn＋1＝n1 x2，求f(xn); n

(Ⅱ)解：f(x1

1)＝f(

2)＝－1，f(x2xnxn xn＋1)＝f(1 x2)＝f(n)＝f(xn)＋f(xn)＝2f(n

1 x xxn) nn∴

f(xn 1)

f(x＝2即{f(xn)}是以－1为首项，2为公比的等比数列

n)

∴f(x－

n)＝－2n1 (Ⅲ)解：

1f(x1)1f(x2) 1f(x (111

2 n 1

) n

)22211 n

(211

112n 1) 22n 1

2 2而2n 5n 2 (11n 2) n 2

2

∴

1112n 5

f(x 1)f(x2)f(xn

)n 25．已知函数y f(x),x N,f(x) N，满足：对任意x1,x2 N,x1 x2,都有

x1f(x1) x2f(x2) x1f(x2) x2f(x1)；

（1）试证明：f(x)为N上的单调增函数； （2） n N，且f(0) 1，求证：f(n) n 1；

n

（3）若f(0) 1m,n N,有f(n f(m)) 1，对任意

f(n) 1，证明：

i 1

f(3i 1) 1

42

.

证明：（1）由①知，对任意a,b N*

,a b，都有(a b)(f(a) f(b)) 0， 由于a b 0，从而f(a) f(b)，所以函数f(x)为N*上的单调增函数. （2）由（1）可知 n N都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1) f(n)+1

f(n+1)-f(n) 1, f(n)-f(n-1) 1

f(2)-f(1) 1

f(1)-f(0) 1由此可得f(n)-f(0) n f(n) n+1命题得证

（3）（3）由任意

m,n N,有f(n f(m)) f(n) 1

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