初等变换的应用

矩阵;初等变换

第17卷第3期2001年6月

工　科　数　学

JOURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGY

Vol.17,№.3Jun.2001

初等变换的应用

吴明芬

(五邑大学数理系,广东江门529020)

在本文中,我们首先给出用初等变换求极大无关组这种方法的理论证明,同时得到一个向量组的其余向量由极大无关组线性表示的方法。其次阐述了用初等变换化二次型为标准形以及用初等变换解矩阵方程的理论依据.

1　初等变换求极大无关组

在《线性代数》课程中,初等变换是一种很重要的手段.用它可求矩阵的秩,矩阵的逆,线性方程组的通解.其实它的用途远不止这些.在同济大学数学教研室编的《线性代数》(第二版)80-81页例题10;赵树源主编的《线性代数》135页的例题1及杨子胥编的《高等代数习题解》上册的381-382页都用同一种方法——初等变换来求一个向量组的极大无关组.具体做法为:若给定列向量 1, 2,…, n.构造矩阵

n)经初等行变换化为阶梯形矩阵B=( 1 2… n),那么矩阵B的列向量组的极大无关组A=( 1 2…

就可直接观察得到.从而矩阵A与矩阵B的列向量组的极大无关组相对应的列向量就构成A的列向量

组的极大无关组.这个结果的理论依据在这些书上均没有说明,而数学专业用的由北京大学代数几何教研室编的《高等代数》及张禾瑞和郝炳新编的《高等代数》也没有这方面的论述.

定理1　设向量 1, 2,…, n为m维列向量,矩阵A=( 1 2… n)经初等行变换化为矩阵B=( 1

2… n),则 1, 2,…, n的任一部分组 i, i,…, i与 1, 2,…, n的相对应的部分组 i, i,…, i的12r12r线性关系一致,即同时线性无关(线性相关).

证　(i)若 i1, i2,…, ir线性无关,则矩阵( i i… i)的秩为r.而矩阵A经初等行变换化为矩阵12r

i… i)就化为矩阵( i i… i),据初等变换不改变矩阵的秩,故矩阵( i i… i)的秩B时,矩阵( i1 2r12r12r也为r,从而向量组 i1, i,…, i线性无关.反之亦然.2r

(ii)向量组 i1, i2,…, ir线性相关当且仅当矩阵( i1 i2… ir)的秩小于r.而矩阵( i1 i2… ir)经行初等变换化为矩阵( i1 i2… ir),故矩阵( i1 i2… ir)的秩也小于r,所以向量组 i1, i2,…, ir线性相关.反之亦然.

推论1　若矩阵A=( 1 2… n)经初等行变换化为矩阵B=( 1 2… n),则向量组 i, i,…, i是12r

向量组 1, 2,…, n的极大无关组当且仅当向量组 i1, i2,…, ir是向量组 1, 2,…, n的极大无关组.推论2　若 1, 2,…, n为m维行向量,以它们为行构造的矩阵A=( 1, 2,…, n)经初等列变换

TTT

化为矩阵B=( T1, 2,…, n),则向量组 1, 2,…, n的部分组 i, i,…, i是极大无关组当且仅当向12r量组 1, 2,…, n的对应部分组 i1, i2,…, ir是极大无关组.

注　此时若作初等行变换,结论未必成立.

例1　设 1=(1,1,1), 2=(2,2,2), 3=(2,1,3),A=

112221

1

2经初等行变换得3

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