复分析中的映射问题和α问题

数学,物理学,力学

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《拉维拉斯县著名的跳蛙》是马克 温最著名的短篇小说，在他生前，它被翻译成卡吐包括法语在内的多种语言，但珐国人并不认为选篇小说很有趣 .马克 吐温为了弄清楚这到底是由于法国人缺乏什么，或是由于它的法文译文失去了原著的狂欢情趣，他就让人把法文译文叉逐词逐句地译成英文，结果发现珐国人是无辜的，问题在于它的法文译文无味 . 在本文中，我将把单复变中的一些结果翻译成多复变的语言，然后再译回到单复变的情形 .

我们将会发现其最终结果与最初结果有所差异.我希望这种新看法会丰富我们对最初结果的 理解，而不是相反.

把单复变的结果翻译成多复变的语言决不象说句“现在，设 n”那样简单省事 .事>l实上，单复变中许多结论都依赖于复平面上的调和函数和垒纯函数之间的特殊联系.在多复变中，调和函数可没有这样高的地位，相反地，它几乎不被人提及 .因此在多复变中，我们

就应该找出 Lpae子及其棒的替代物，通常我们用 a al算 c算子代替 Lpae算子.在单个复 al c 一

变数时，a算子 . o告{ i .利用a,;岳羔J =技巧证明单复变中经典结果的一本极好参考 书是 HS mad r关于多复变函数论的第一章】倒如在那里我们会见到 Mi a— efe r ne的 . t g L flr t定理的一个短短三两句话的证明，该证明基于下面事实：对任何给定的在域 O上 C函数。 , .1

1

,

、

一

存在一个函数∈C (使得：。 D) .实际上，假若 d,=l 2…,是由口中不同的点组成。 i,,的点剐，并且在 D内无极限点 .叉若 P 0 )某个亚纯函数在点 n的主要部分，取 Di 2 为 , ￣f为不相交的圆盘序列，使得Ⅱ∈D,取函数∈G D,。。 .再 ( )在的某个小邻域内恒为

1 .则函数“=∑ . o一{、 )并且Ⅱ or t P∈C (。), t有cr c主

部，但 u是D— i e不 } i— l —

a. 0

上的垒纯函数 .为了找到一个垒纯解，”为 d方程=a的 C命解，其中 a为 C函数， '

。在 D一

)上等于，在每个点 d上等于 0那么 u一就是 bi a— efr理的一 一 i . lt g L fe定 t

个解 . (了，里已讲了四句了 )除了调和函数外，多复变函数论还缺少共形映射的概念 .好这 我们大都同意这样的看珐：复平面中域之间的共形映射是一个神奇美妙的课题 .由于共形映射理论中许多优美漂亮的定理在多复变中没有明显类似的对应物，以人们就不指望 c。所 中域之间的垒纯映射会有类似于单复变的一些经典结论和性质 .这里我要讲如何理解看待单

●碍茸l M a p n r b e s i o l x a a y i n t a p o lm,译自：B l.,¨ eA v o n } p i g P o lm n C mp e n l s s a d h￣- r b e u 1。 ma la 0¨ . 0, 2( 9 0) 23— 2 . c. 2 1 9 J 3 5

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