2015届高三复习《任意角的三角函数与三角恒等变换》导学案

考点一 三角函数的定义

以三角函数的定义为载体，求三角函数的值是高考经常考查的一种方式，一般以选择题形式出现，试题难度不大，题目的鲜明特点是给出角的终边上的点的坐标，此时我们要联想到三角函数的定义求出所需三角函数值，然后结合三角公式进行求解化简.

例 已知角 的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y 2x上， 则cos2 ( ) A．

4334 B． C． D． 5555

思路分析：思路一，可设出P的坐标，因不清楚在P点在第几象限，故可用字母表示，然

后利用三角函数的定义和二倍角公式求解函数值；思路二，因P点位置在第一或第三象限，故可求角的正切值，然后利用二倍角公式和弦化切的技巧求解；思路三，可随意从直线

y 2x取，故可确定P点坐标，然后借助三角函数的定义，确定其正弦值，最后利用二倍

角公式求解.

2222

解法一：在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a 0), r OP a+(2a) 5a,

2

a213

cos 2 , cos2 2cos2 1 .

5a552acos2 sin2 1 tan2 3 2, cos2 . 解法二：tan 222acos sin 1 tan 5

2

解法三：依题意在直线y 2x取一点P（1,2）

，则r

则sin

y3 cos2 1 2sin2 .故选B． r5

【考点突破】任意角的三角函数的定义：设 是任意一个角，P(x,y)是 的终边上的任意一点（异于原点）

，它与原点的距离是r

0，那么

sin

yxy

,cos ，tan , x 0 .

rxr

【特别提示】三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关.故我们在解题时

对于P点的确定有一定的灵活性，根据题设条件适当的选择.因某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定.但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组要分别求解.例如已知角 的终边在直线

3

3x 4y 0求sin .此时sin .

5

【追踪训练】

1.已知角 的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P 4,y 是角

中边上的一点，且

sin y． 2. 已知角 的顶点在原点，始边与x

轴的正半轴重合，终边经过点P( .则

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