《几何原本》与《九章算术》——中西古代数学思想的差异及教学的启示

《几何原本》与《九章算术》——中西古代数学思想的差异及教学的启示

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20 0 8年第 1期

中学教研 (学 )数

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《几何原本》与《九章算术》 ——

中西古代数学思想的差异及教学的启示

●何 鸾邓鹏 (四川西华师范大学数学与信息学院 670 ) 302 欧几里得的《何原本》中国古代的《几和九章算术》 2是 部里程碑式的名著，它们分别以其突出的贡献和重大的历史意义，在人类科学史尤其是数学史上各领风骚数千年，直到今天对后世的数学研究和发展仍能带来启迪作用.文本仅谈一谈其中折射出的东西方古代数学思想的差异，对及当今新课程改革下中学数学课程及教学的启示. 1《几何原本》九章算术》与《反映的中西方古代数学思想 的差异 11背景：理性与经世致用的目标的追求 .对

与之辉映的《九章算术》,括方田、米、包粟衰分、广、少 商功、输、不足、程、股， 9章 2个问题 22个 均盈方勾共 6 4 0

“”其中“”问题 )自社会，答”一个问题的解答 )术 .题 (源“ ( 和“”一类问题的算法 )务于社会，当时的社会生术 (服与产、管理以及社会生活的其他领域有着密切的、接的联直

系，与外界经常进行信息交换 j《 .九章算术》采用从个别 到一般的推导方式， 6章中定的是实用名称，映了数学前反

在不同领域的应用，编写结构一般都是从某一社会生活领 域中的一个或几个个别问题出发，纳出某一类问题的一归

大约公元前 30年， 0即史称所谓的“古希腊时期”从泰，勒斯开创命题的证明、达哥拉斯学派发现勾股定理，毕到智 人学派提出几何 3大作图问题，其是柏拉图学派强调学 尤

般解法，把各类算法综合起来，到解决该领域中各种问再得题的方法，构成一章；而后 3章“从其专术得名”6, L一般按 J解决问题的需要归纳出相同的计算方法，提炼出数学模型， 使数学能在社会生活各个领域中更广泛的应用.因此，九《章算术》构建的是一个开放的归纳体系.所 13形式： .内容的公理化与题解的算法化

习几何以培养逻辑思维，要求根据一些公认的原理作出演“绎证明……竖起了演绎系统化的里程碑” l, J以及亚里士

多德提出三段论的形式逻辑思想及公理方法，数学脱离了 哲学和天文学成为独立的学科，是在这样的背景下，几正欧

图形的性质和空间位置关系，欧几里得着重研究的是对象，正是从 2他 3条定义、 5条公设、 5条公理这样的抽象

里得总结、梳理了前人的工作成果，创造性地写成了《几何 原本》将西方古代数学 (,即几何学 )立在坚固的理性基建 础之上，

概念和一般性命题出发，讨这些概念和命题之间的逻辑探 关系，由一些给定的概念和命题推演出另一些概念和命题，

几乎同时，在地球的另一边，古代的中算家正在使用算筹这种工具，寻求关系社会生产、生活各方面种种应用问题的普遍解法而演算着，他们总结、写，编并几度整理、校注，

得到了《何原本》中的 4 7个定理，成了公理化的体几 6构 系，因此这个体系也是抽象的，如在《例几何原本》,中研 究了“有的”形 (抽象的矩形概念 )性质，不研究 所矩即的但

创作出《九章算术》这部数学经典，响中国乃至东亚地区影两千多年的历史，而东方古代数学即算术 (法 )成为实算也 用性的工具，土地的丈量、仓容积、坝和河渠的修建、“谷堤 税收、兑换率——这些似乎都是最重要的实际问题，为数学而数学的场合极少.这并不意味着中国计算人员对真理不感兴趣，但他们感兴趣的不是希腊人所追求的那种抽象的、 系统化的学院式真理” 3,约瑟博士一语道出了中西方 李 J

任何一个具体的矩形实物的大小.这样的例子不胜枚举，欧几里得在建造他的几何学大厦的伟大工程时，选择的材所料(义、定公设、理 )抽象的，公是所搭建的脚手架 (逻辑推 理形式 )是抽象的，后建成了整个大厦 (到的定理，也最得

公理化的体系)还是抽象的，

在《章算术》,九中我们所看到的却与之截然不同.九《章算术》的每一章都按照“”“”“”题、答、术的体例来编写， 社会实践中的各类问题几乎都能在其中找到对应的具体方法，粟米”“专讲各种谷物之间的换算；衰分”“专讲分配问题的解法；少广”“专讲给定长方形面积或长方体体积求其边长的方法以及“立圆”开问题；商功”“专

讲开堤筑渠、堆粮筑城等工程的计算和用工多少的确定；均输”“专讲按人口多少、途径远近、谷物贵贱推算赋税及徭役的方法；盈不“足”专讲盈不足及可化为盈不足问题的一般算术问题的专门算法；方程”“专讲列置和演算“方程”的方法 (方程术 );“股”勾专讲有关直角三角形的理论，主要是勾股定理及其应用.尤其是其中的运算已不只是单纯的数值计算，而是发展了一套内容十分丰富的“筹式”运算，不仅可以利用筹码

古代数学追求的不同目标.

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1 2结构：闭的演绎体系与开放的归纳体系 .封

在《几何原本》欧几里得从 2中， 3条定义、公设、 5条 5 条公理出发，推出了 4 7条定理， 6组建出一个几何学的理论体系.直边形和圆的基本性质、从比例论、相似形、数论、不可公度论，到立体几何、穷竭法，以看出这个体系是自足可的、独立的.它与外界没有多少联系，立于社会生活之外独而展开，甚至在其发展中回避任何与现实生活有关的应用问题，只是以少数不定义的概念和少量不证明的命题为珠， 以一定的逻辑规则为线，紧密地一步一步推进，推演出其他所有命题(定理)采用从一般到个别的表述形式，世界，让“第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹”, J因此这个逻辑体系是封闭的、演绎的.

不同的“”位来表示不同的“”而且还可以利用筹在算板值， 上各种相对位置排列成特定的数学模式，以描述并解答用

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