常见解析几何中的一些最值问题 人教版

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常见解析几何中的一些最值问题

张凤仙

（贵州师范大学 数学与计算机科学学院 贵州贵阳 550001）

摘要：有关解析几何中的最值问题，在中学数学中较为常见，相对高中数学的其他分科如代数、立体几何、三角中的最值问题，它亦占据了相当的比重，以下将从具体的实例出发，分析并介绍几种比较典型的解题方法，找出一般的解题程序与技巧。

关键词：最值；函数解析式；二次函数；自变量；已知量 引言：

中学数学的最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各学科中，在生产实践当中也有广泛的应用，也是历届各类考试的热点。学习如何利用一定的数学方法来解决这类问题，能够提高分析问题和解决问题的能力，也是进一步为学习高等数学中的最值问题打下基础。下面将针对解析几何中的最值问题，作出几种具体分类讨论：

一、利用二次函数的知识求最值 关于二次函数： y=ax2+bx+c（a≠0），x∈R

b4ac b2

4a为最值。 当x= -2a时，y=

当a>0时，有ymin

当a<0时，有ymax

但通常二次函数有相应的定义域，自变量x的具体取值范围有所不同，讨论最值的方式也有所不同。主要有两种情况：

4ac b2

4a 1、x∈R，当a>0，则有ymin=4ac b24a 当a<0，则有ymax=

b

2、当x定义在闭区间，即x∈[a，b]（a,b为常数），则应当看对称轴x= -2a

是否在此区间，如果x在此区间，则函数同时有最大值与最小值，如果x不在此区间，则函数的最大值与最小值必定分别取在该区间两个端点上（具体由函数单调性决定）。

当x定义在一个含参数的闭区间即x [t, t+a]（t为参数，a为常数）时，需要对参数进行讨论。

2 sin2

2

例1.1 已知二次函数y=x2-2xsec +2cos （ 为参数，cos ≠0）

①求证此抛物线系的顶点轨迹为双曲线。

②求抛物线y=x2+2x+6到上述双曲线的渐近线的最短距离。

分析：由于该二次函数y的定义域为R，所以这道题应归结于上述类别1。 对于问题①虽然所给解析式中含有参数，（为抛物线系）但实际上它是一个关于自变量x的二次函数，通过配方，可对其变形，得到该抛物线的顶点，观察后可以判断这是一个含有参数 的轨迹方程。此时，消掉参数即可求解；对于问题②，已知某抛物线方程及已经求得的双曲线方程，要求该抛物线到该双曲线的渐近线的最短距离即为求某动点到定直线的距离，首先应该把该动点设出，其次要确定该直线的方程，这样方可根据点到直线的距离公式，得出所求最值的函数对象，从而求得最值。随之确定这个点。

2 sin2

2

解：① 由y=x2-2xsec +2cos

y=x-2xsec +sec2

sec2

2 sin2 2cos2

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