数学竞赛平面几何讲座5讲--第四讲 四点共圆问题

第四讲 四点共圆问题

“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材《几何》二册所介绍的两种（即P89定理和P93例3），由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用. 1 “四点共圆”作为证题目的

例1．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于

M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆.

(第19届美国数学奥林匹克)

分析：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM. Q欲证M，N，P，Q四点共圆，须证

′MK·KN＝PK·KQ，

即证(MC′-KC′)(MC′+KC′) ＝(PB′-KB′)·(PB′+KB′) B2222

或MC′-KC′=PB′-KB′ . ①

不难证明 AP=AM，从而有 AB′2+PB′2=AC′2+MC′2. 故 MC′2-PB′2=AB′2-AC′2

=(AK2-KB′2)-(AK2-KC′2)

=KC′2-KB′2. ②

O由②即得①，命题得证.

例2．A、B、C三点共线，O点在直线外，

O1

O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC，

O2△OCA的外心.求证：O，O1，O2， 3

O3四点共圆.

(第27届莫斯科数学奥林匹克) ABC

分析：作出图中各辅助线.易证O1O2垂直平分OB，O1O3垂直平分OA.观察△OBC

1

及其外接圆，立得∠OO2O1=∠OO2B=∠OCB.观察△OCA及其外接圆，

2

1

立得∠OO3O1=∠OO3A=∠OCA.

2

由∠OO2O1=∠OO3O1 O，O1，O2，O3共圆.

利用对角互补，也可证明O，O1，O2，O3四点共圆，请同学自证. 2 以“四点共圆”作为解题手段

这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等

例3．在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分别在AD，BC上，∠DAM

＝∠CBK.

求证：∠DMA＝∠CKB.

CD

（第二届袓冲之杯初中竞赛）

KAMB

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