高考专题：参数法在解题中的应用-教师

参数法在解题中的应用

[方法精要] 在解数学题的过程中，往往会遇到一些不能直接求解或直接求解困难，或较烦琐的变数问题，这时往往要通过引入条件中原来没有的辅助变量(参数)，并以此作为媒介，使问题转化从而解决问题，这种应用参数解决问题的方法称为参数法．

应用参数法的关键在于恰当的选取参数，只有参数引入恰当，问题才能迎刃而解，收到事半功倍的效果．使用参数法的原则是引进参数后，能使问题获解．其次还要考虑引进参数的合理性，除了要考虑条件和结论的特点外，还要注意某

些量的取值范围，任何变量都有取值范围，另外还要注意原问题并非关于参数的问题，参数并不是直接研究对象，它只是起“桥梁”和转化作用，所以当求得间接解后要倒回去确定原问题的解，这就可能要消去参数而用问题中原有的变数表示结果．

参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支．运用参数法解题已经比较普遍．参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题．

题型一 参数法在函数问题中的应用

例1 定义在R上的增函数y＝f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)． (1)求f(0)；

(2)求证：f(x)为奇函数；

(3)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

破题切入点 (1)赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，第(1)(2)两问可用赋值法解决． (2)将恒成立问题转化成函数最值问题．

(1)解 令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.

(2)证明 令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，则有0＝f(x)＋f(－x)， 即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．

(3)解 方法一 因为f(x)在R上是增函数，又由(2)知f(x)是奇函数． f(k·3x)<－f(3x－9x－2)＝f(－3x＋9x＋2)，所以k·3x<－3x＋9x＋2， 32x－(1＋k)·3x＋2>0对任意x∈R成立．

令t＝3x>0，问题等价于t2－(1＋k)t＋2>0对任意t>0恒成立．

1＋k1＋k令f(t)＝t2－(1＋k)t＋2，其对称轴为x＝即k<－1时，f(0)＝2>0，符合题意；

221＋k 0，1＋k

当≥0即k≥－1时，对任意t>0，f(t)>0恒成立 2解得－1≤k<

2

Δ＝ 1＋k 2－4×2<0，

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