高考专题：分离参数法在解题中的应用-教师

分离参数法在解题中的应用

[方法精要] 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围，这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决．分离参数

法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到，解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域的问题．

题型一 用分离参数法解决函数有零点问题

例1 已知函数g(x)＝x2－ax＋4在[2,4]上有零点，求a的取值范围．

破题切入点 函数g(x)＝x2－ax＋4在[2,4]上有零点，等价于方程x2－ax＋4＝0在[2,4]上有实根，把方程x2－ax＋4＝0中的变量a分离，转化为求函数的值域问题即可求出a的取值范围． 解 ∵函数g(x)＝x2－ax＋4在[2,4]上有零点，

∴方程x2－ax＋4＝0在[2,4]上有实根，

44即方程a＝x＋在[2,4]上有实根．令f(x)＝x xx

则a的取值范围等于函数f(x)在[2,4]上的值域．

4 x＋2 x－2 又f′(x)＝1－0在x∈[2,4]上恒成立， xx∴f(x)在[2,4]上是增函数，∴f(2)≤f(x)≤f(4)，即4≤f(x)≤5.∴4≤a≤5.

题型二 用分离参数法解决不等式恒成立问题

a例2 已知函数f(x)＝lnx－， x

(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；

(2)若f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．

破题切入点 (1)通过判断导数的符号解决．

(2)由于参数a是“孤立”的，可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决．

1ax＋a解 (1)由题意：f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＝xxx∵a>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．

a(2)∵f(x)<x2，∴lnx－<x2.又x>0，∴a>xlnx－x3 x

令g(x)＝xlnx－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，

1－6x21h′(x)＝－6x＝，当x≥1时，h′(x)<0，∴h(x)在[1，＋∞)上是减函数， xx

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