当前位置： 文档下载 > 所有分类 > 高中教育 > 数学 > 2009上海交大自主招生数学部分试题及解答(附解答修正)2009上海交大自主招生数学部分试题及解答
(附解答修正)
1.华罗庚，丘成桐
2.四面体一对棱长是6，其余棱长均为5，求内切球半径？
解：设四面体A-BCD,AB=CD=6，AC=BC=AD=BD=5.取AB中点为E,CD中点为F.连EF,取EF中 点为O.于是连AF=BF=4，DE=CE=4，且CD⊥AF,CD⊥BF.∴CD⊥面ABF.
AB⊥DE,AB⊥CE, AB⊥面CDE .过O作OG⊥AF,OH⊥BF,OI⊥CE,OJ⊥DE.
因 OGF~ AEF,EF= 7， OF=同理：OH=OI=OJ=
3 8
OF , OG2
=AE ∴OG=
AF
2
×3÷4=
3 8
又OG 面ABF,CD⊥面ABF,OG⊥CD,CD∩AF于F,
∴OG⊥面ACD. 同理:OH⊥面BCD, OI⊥面DAB, OJ⊥面CAB ∴OG为内切球半径=
3 8
D
C
AB
3．已知f{f(x)}有唯一的不动点，求证f(x)也有唯一的不动点。 证明：设 f{f(x)}的唯一的不动点为A（a,b）,那么有f{f(a)}=b.
f(x)就有不动点(a,f(a)),如果 (a,f(a))不是唯一的，还存在第二个不动点
（c,f(c)）(c≠a) 。则f[f(x)]必存在不动点（c,f[f(c)]）。这与f{f(x)}有唯一的不动点矛盾。故f(x)也有唯一的不动点。 4.P,Q分别是圆x2+（y 3)2=1与抛物线y=x2上的点，求PQ的最小值。 解：设圆心为A,则A(0，3),Q(x,y),因y=x2，则|AQ|2=x2+（y 3)2 = y+ （y 3)2= y2-5y+9=(y 2)2+ |AQ|的最小值
，∴ PQ2
5
11
4 4
1
11
的最小值=
2
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