函数y=f(x)与导函数yf+′x对称性探究

函数Ｙ＝火石）与导函数Ｙ＝ｆ７（戈）对称性探究

北京市六一中学

ｌ教学中思考

在学习新课程标准人教Ｂ版教材高中数学选修（２—２）导数及其应用一章时，我们逐步知道了对于可导函数，，＝“戈），可用它的导函数Ｙ＝ｆ７（ｚ）大于零（或小于零）研究原函数的单调性；可用导函数Ｙ＝ｆ’（ｚ）研究原函数的极值（或最值）；可用导函数Ｙ＝ｆ’（算）研究原函数ｙ＝／（算）在点Ｘｏ以Ｘ０））处的切线等

问题这使我们认识了导数是研究函数的有利工具的

同时，看出了原函数与导函数之间存在着某些必然的联系．进而促使我们进一步思考，我们如何利用导数这个很有利的工具研究函数的其它性质呢？带着这个问题，从Ｙ＝ｓｉｎｘ的导数是Ｙ’＝ｃｏｓｘ；及Ｙ＝ＣＯＳＸ的导数是Ｙ’＝一ｓｉｎｘ．发现：），＝ｓｉｎｘ有对称中心，它的导数有对称轴；ｙ＝ＣＯＳＸ有对称轴它的导数有对称中心．因此我们猜想：一般情况下，原函数与它的导数之间是否存在着某种对称性，于是开展了原函数与它的导数对称性的研究，得到了—个简单的结论，同时还得到了任意

三次多项式函粼戈）＝ａ３ｘ３＋ａ２ｘ２＋口ｌｘ＋ａｏ（ａ３≠０）

的对称中心，本文现将这个结论与大家交流如下．２思考中探索

定理ｌ

定义在Ｒ上的可导函数Ｙ＝火石），函数Ｙ

＝八茗）图象关于点（口以ａ））中心对称的充要条件是：

其导函数，’（菇）图象关于直线石＝ａ对称

为了证明如上定理，先证明如下两个引理：引理ｌ

定义在Ｒ上的函数Ｙ＝以ｚ），任意ｚ∈Ｒ

有只ａ＋聋）＝灭ｂ一戈）（口，ｂＥ

Ｒ为常数）的充要条件

是：函数ｙ＝以戈）的图象关于直线戈＝｝＃对称

二

证明必要性，设点Ｍ（ａ＋ｘ以ａ＋戈））为函数Ｙ＝八茗）的图象上的任意一点，肘’（６一菇以ｂ—ｘ））为该图象上另一点，因为灭ｏ＋石）＝“ｂ一工），所以直线ＭＭ’

的斜率为零，而生塑弓二垒兰＝堡≠，设查线￡的方程

Ｚ

二

为菇＝生芸，所以Ｌ垂直平分删’，所以点Ｍ与Ｍ’关

厶

于直线石＝半对称

二

３６

万方数据

１００１４２

康志山

因为肘为函数Ｙ＝ｆ（ｘ）的图象上的任意一点，所

以函数，，＝八ｚ）的图象关于直线茗＝生＃对称

充分性，函数ｙ＝以戈）的图象关于直线戈＝生芸对称，则在函数Ｙ＝火戈）的图象上任取一点，Ｍ（ａ＋髫，

以口＋茗）），并设与点Ｍ关于直线茁＝生竽对称点为

肘’（舅’，ｙ’）．

则玺譬型＝字勘’＝ｂ吨因为，，７＝

以戈７）＝火ｂ一石）又Ｙ’＝以ａ＋ｚ），所以八ａ＋膏）＝八ｂ

—ｘ１．

在引理ｌ中，令ｂ＝ａ，ｘ用ａ一石代替便得如下推

论

推论ｌ

定义在Ｒ上的函数，，＝灭膏），任意菇∈Ｒ

有ｆ（ｘ）＝火２ａ一茗）（ｄ∈Ｒ为常数）的充要条件是：函

数Ｙ＝以ｘ）的图象关于直线髫＝ａ对称

引理２定义在Ｒ上的函数Ｙ＝以菇），任意菇∈Ｒ有八ａ＋菇）＝－ｆ（ｂ一聋）＋２ｃ（ｏ，ｂ∈Ｒ为常数）的充

要条件是：函数，，＝天茗）的图象关于曩气笋，ｃ）对称，

且ｃ：世娑趔．

证明必要性，设点Ａ（ａ＋石以ａ＋石））为函数Ｙ＝八石）的图象上的任意一点，Ａ’（６一茗以６一ｘ））为该图象上另一点，点＿４’的中点设为Ｐ（ｘｏ，％），因为只ａ＋ｘ）＝一厂（６一戈）＋２ｃ，

则旷。ａ＋ｂ，

所以点Ａ与Ａ’关于

肘（ａ丁＋ｂ，ｃ）对称将ｘ＝０代入以Ｄ＋石）＝－ｆ（ｂ一石）＋２ｃ得ｃ＝ｆ一（ａ）２＋ｆｉｂ）ｊ

因为Ａ为函数Ｙ＝ｆｉｘ）的图象上的任意一点，所

以函数），＝苁茗）的图象关于Ｍ｛、ａ

２＋ｂ，ｃ）对称，且

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