分离参数思想解决求参数取值范围问题

分离参数思想解决求参数取值范围问题

2009年2月

在高中数学练习题中经常会遇到一类问题，即含有几个参数的不等式对给定范围的某几个参数恒成立，求其余一个参数取值范围的问题。对于这类问题，很多时候采用的是构造函数后利用函数的图象、性质来求解，比较麻烦而且学生不容易理解。笔者认为用分离参数的思想来解决其中一些问题比较简洁，也易于学生理解和接受。下面试举几例：

例1．已知不等式x3＋2≥mx对x∈[0,+∞）恒成立，求m的取值范围.

分析：当x＞0时，显然可以分离参数，求出m的取值范围。

解：由x3＋2≥mx对x∈[0,+∞）恒成立知，

当x=0时，不等式即为2≥0，显然对m∈R均可成立；

当x＞0时，分离参数得m≤ 对x∈(0,+∞）恒成立,故只需求出的最小值，而m小于等于此最小值即可。

∵x∈(0,+∞），∴= ≥3 =3（当且仅当x=1时等号成立），∴m≤3

综上所述，m的取值范围是（－∞，3]

例2．已知函数f(x)=32x－(k+1)3x＋2,若对任意x∈R都有f(x) ＞0恒成立，求k的取值范围。

分析：将3x换为t，则可以将参数k和t分离开来。

解：令3x =t,（t＞0），由题意知，对任意x∈R都有f(x) ＞0恒成立,即是t2－(k＋1)t＋2＞0对t∈(0,+∞）恒成立, 即k＋1＜t＋对t∈(0,+∞）恒成立。

∵t＋≥2 =2 （当且仅当t= 时等号成立）

∴k＋1＜2 , ∴k的取值范围是（－∞，2 －1）

例3．已知函数f(x)为奇函数，a为常数，a∈R, f(2x)=

(1) 求f -1(x)

(2) 设g(x)=log ,若对x∈[ , ] , f -1(x)≤g(x)恒成立，求k的取值范围。

解：（1）易得f -1(x)=log2（－1＜x＜1 ）

（2）f -1(x)≤g(x)对x∈[ , ]恒成立，即log ≥log2对x∈[ , ]恒成立，∵1+x＞0，∴k＞0，且（）2≥ 对x∈[ , ]恒成立，

由1+x＞0，则k2≤1－x2对x∈[ , ]恒成立，∴k2≤ ，∴≤k≤

又k＞0，则k的取值范围为（0，]

例4．已知函数f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，f(1)=1, 若对a, b∈[－1,1] ,且a+b≠0,恒有＞0

(1) 判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性.

(2) 若f(x)≤a2－2am+1对x∈[－1，1]，a∈[1，3]恒成立，求m的取值范围。

解：（1）易知f(x)在区间[－1，1]上为增函数。

（2）由（1）知，f(x)在[－1，1]上单调递增，且f（1）=1，则f(x)在[－1，1]上最大值为1。∵f(x)≤a2－2am+1对x∈[－1，1]，a∈[1，3]恒成立，则只需a2－2am+1≥1，即a2－2am≥0对a∈[1，3]恒成立，即2m≤a对a∈[1，3]恒成立，∴m≤

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