慎用分离参数法求字母范围——由一道联考题引起的思考

2 0 1 3年 4月下旬 (高中 )

解题研究

中小学数学幔●

爹数法求字母范围 由一道联考题引起的思考 平街一中( 1 0 0 0 1 3 )陈守俊安徽省皖南八校 2 0 1 2届高三第二次联考理科第 2 0题：

h ( x )…成立即可.对h ( x )求导得

I x :—

已知函数 )=a l n x+÷一( 1—0 ) ( a∈R) . 一 一

——— ) ‘ 2 ( 1 n x— )

广—一

(二 2 i±二

( 1 )当 0<a<1时，求l厂 ( )的单调区问； ( 2 )已知命题 P )≥0对定义域内的任意恒

到了这一步，学生思维受阻，无法进行下去了. 这是因为由 ( ): 不

成立，若命题 P成立的充要条件是{ aI a≤t},求实数 t的值 .

能判断出 ( )的符号，进而无法得出 h ( x )的最小 值.

这是一类常见的含参数单调性判断、含参数不等式恒成立问题，也是历年高考考查的热点和难点.解含参数不等式恒成立问题的基本思路是利用函数最值法或分离参数法 (参数容易分离时)来求解.在阅卷时发现 8 0%的同学用的是分离参数法求解，然而只有少数同学能完整的解出正确答案，大多数学生是半

其实，要判断出 ( )的符号，只需判断出+ 2— 2 1 n x的符号就可以了. 不妨令 k ( ); - 4 - 2— 2 1 n x,对k ( )=+ 2— 2 1 n x

求导得， ( )一1 2: ,

途而废，无功而返.究其原因是：虽然参数 a很容易被 分离，但无法求出函数的最值.下面不妨循着学生的解题痕迹去探个究竟： ( 1 )函数 -厂 ( )的单调增区间为 ( 0, a )、( 1, + ) )的单调减区间为 ( a, 1 ) . (过程略 )

当 0< <2时， . j} ( )<0,即k ( x )在( 0, 2 )上单 调递减；

当>2时， k ( )>0,即k ( x )在( 2,+。。 )上单 调递增.

所以 k ( x )≥ k ( 2 )= 4—2 1 n 2=2 ( 2一l n 2 )>0 ( >0 ) .

( 2 )由_厂 ( )=a l n x+ 立可得 0 ( 1 n x— )≥一— .’

一( 1+0 )≥ 0恒成 .

由此，当 0< <1时， h ( )

<0, h ( f i, )为减函数；

当> l时 ( )>0, h ( x )为增函数.

l n x— <0 ( >0 ), (此式易证明，但仍有部分

同学不会判断大小 ) 1 2 一—

所以 ( )≥川)=一号， 从而。≤一÷ .

.

.

0≤ —三一①对>0恒成立. 1 IL 一

1 2 一—

所以 P成立的充要条件是 (一，一÷], 故 =一÷. 5 5 .

令 ( )

≥,欲使①恒成立，只需n≤

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