分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用

分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有

2ax bm ax n，ax bx cm sinx n 等.解题的关键是通过恒等变形，，y y y y 2xcx dp a qp sinx qmx nx p

从分式函数中分离出常数.

1.用分离常数法求分式函数的值域

例1 求函数f(x) 3x 1(x 1)的值域. x 2

解 由已知有f(x) 3[(x 2) 2] 13(x 2) 77. 3 x 2x 2x 2

x 2由x 1，得x 2 1.∴ 1 1 0.

∴函数f(x)的值域为{y R| 4 y 3}.

2.用分离常数法判断分式函数的单调性

x a例2 已知函数f(x) (a b)，判断函数f(x)的单调性. x b

解 由已知有y (x b) a b 1 a b，x b. x bx b

所以，当a b 0时，函数f(x)在( , b)和( b, )上是减函数；当a b 0时，函数f(x)在( , b)和( b, )上是增函数.

3.用分离常数法求分式函数的最值

2x 7x 10例3 设x 1，求函数f(x) 的最小值. x 1

解 ∵x 1，∴x 1 0. 由已知有

2[(x 1) 1]2 7[(x 1) 1] 10(x 1) 5(x 1) 44 [(x 1) ]

5f(x) x 1x 1x 1

4，即x 1时，等号成立. 5 9.当且仅当x 1 x 1∴当x 1时，f(x)取得最小值9.

分离参数法

分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.

1.用分离参数法解决函数有零点问题

例4 已知函数g(x) x ax 4在[2,4]上有零点，求a的取值范围.

2解 ∵函数g(x) x ax 4在[2,4]上有零点，∴方程x ax 4 0在[2,4]上有22

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