用分离参数思想解决求参数取值范围问题

在高中数学练习题中经常会遇到一类问题,即含有多个参数的等式或不等式对给定范围的某几个参数恒成立,求其余一个参数取值范围的问题。对于这类问题,很多是构造函数后利用函数的图象、性质,分类讨论来求解,比较麻烦而且学生不容易理解、掌握。通过多年的教学实例,笔者认为利用分离参数的思想,把参数适当分离,从而转化为学生熟悉的求函数最值(或值域)的问题,这样比较简

用分离参数思想解决求参数取值范围问题 ◇严敬宏 在高中数学练习题中经常会遇到一类问题，即含有多个参数的等式或不等式对给定范围的某几个参数恒成立，求其余一个参数取值范围的问题。对于这类问题，很多是构造函数后利用函数的图象、性质，分类讨论来求解，比较麻烦而且学生不容易理解、掌握。通过多年的教学实例，笔者认为利用分离参数的思想，把参数适当分离，从而转化为学生熟悉的求函数最值(或值域)问题，这样比较简洁，也易于学生理解和接受。的 下面试举几例：

>一1成立， .a∈R ( )恒。 .;2当x∈( , )一 1 0时，x一x,则a。>0

>÷÷成立，故只需a} 大于等于的最大值，则a 2( >一； ) 3 当x∈(,1时，x x,则a三：成立，只需aI等 0 ) <0< /于 x

于的最小值，则a 1< 综上可得，a∈[,]一2 1。

。。

例3已知函数f x是定义在[,]的奇函数，f 1=,: )一1 1上 () 1若对a,b∈[,],十 *0恒有一1 1且a b, f x在区间[, 1上的单调性。 ()一1] …>o ()判断；1

例 1若3:一(+ )>o k 1 3+2对任意x∈R恒成立，求k的取值范围。

( ) ( )≤a 2 m l x∈[,1,a∈[,3恒成 2若f x乙 a+对一1] 1]

先用构造函数的方法求解如下： 解： t (>0则不等式等价于t一(+1t>o 令3,t )=。 k )+2对t ∈(, ) O+恒成立，

立，求m的取值范围。 分析：1由单滑走义易知fx在区间[,1上为增函数。 ( ) I ( )一1] () 2本小题含参数较多，用函数图象、性质有无从下手之感；下面考虑逐步分离参数的办法： ()由 1知，f x在[, 1上 ()一1]

构造函数 f t= k十1 t, () t一( )+2则等价于f()对 t∈单调递增，且f 1=,则f x在[ 1 1上最大值为 1‘fx t>o () 1 ) _,];‘ ( . ) (, o恒成立， o+o)即f( ) Y右边的图象应该恒在 t的上≤a 2 m l t在轴轴 a+对x∈[, 1,a∈【,3恒成立，则只需a 一1] 1] 2—

方；1当ft的对称轴t<即<一1 () ()= o k时，结合图象

可知符 2m l a+大于等于fx的最大值；乙 2m l 1 )即a a+>,从而a一 a≥。 2m 合条件， .<一1 () ()’ . k;2当ft的对称轴t g I o>一1 o=—_>即k+= l时，对a∈[,3恒成立，即2 1] m<a e x a∈[,3恒成立， .m≤。 1]’ . 0取值范围为 ( o i。一o,1 ]要使函数图象恒在 t轴上方，则判别式 A<0即 (, k+1 8综上所述，m9 ) <0 .一2一1<2j一1又k一1 .一1<2一1, .<k√,>,‘ .<k ;

综上可得，k的取值范围是 (。 一1。一o,2 )下面用分离参数的思想来解本题：

点评：逐步分离参数，转化为求几个函数的最值问题。 例4 (0 1:2 1年成都二诊理科试题)已知函数f x= n, () () ix gx=吾 (一 a为实常数) .

分析： 3将 换为t,则可以将参数k分离开来，化为k 和t+1若方程e g x (中e 2 7 8 8 ()其= . 1 2……)区间[ 1上有在，]<t对 t 0十恒成立，从而转化为求函数ft=+在解，求实数a+÷∈(,*) ()t 的取值范围。 . t∈(, o的最小值问题。 0+。) 分析：方程e gx在x ,上有解，即e。= ()∈[ 1“]。=j在~ ,]。在x∈[1,] 1上有解；若用构造函解： t (>0,由题意知，对任意x∈都有f x>0令3:,t ) R ()恒 x∈[ 1 1上有解，即x=— () x 3,问题转化为函数F x的图象在x - () 成立， t一(+1t>o￣∈(,o)即是 k )+2 xt o+o恒成立，即+1 数的办法，则令F x= 2一 k<t 1与x而此函数只有求导，再对a进行讨论，将+{∈(, o)对t 0+o恒成章L只需k 4于等于t亍∈(,∈[,]轴有交点；+1'+在t 0+。的小‘+ 2.2当仅 t时号立；使绝大部分学生晕头转向，无从下手，下面考虑分离参数的方 o最值； t 1; (且当=等成 ) ) . f=’, k<22.k+1√,.的取值范围是 (‘一*,√—1。 22 ) 法：。三在x[,上有解，即= x。∈[,方程x一=∈ 1] a;—在x 1 x 1]上有解。从

而转化为求函数h x x x ()—。在x∈[ 1的值域。由 ,]点评：离参数在本题中简化了讨论，从而使学生更容易分 . .

理解和掌握。

例2已知函数 f x= x (+1x,若f x>O x : ()a a )+1 ()对∈

(号 1恒成立，求实数a一，)的取值范围。

h () - x= ( _,令h (),又注意到x,解得： x 3 3 x ) x>0>0 0<x , . () -。< .hx=3 x在x∈,】上单调递增，x∈[,] x【 1上单调递减，又^< ).O<∞s( . 0 .. )^^ ) . h ∞ -. n【 1/敞∈, . 2 1

先用构造函数的方法求解如下： 点评：本题看似山重水复疑无路，采用分离参数的方法， 解：1当a 0,f x=一x l ()=时 ()+,则f x>o￣ () x x∈( ,)一 11恒转化为求三次函数值域的问题，正是柳暗花明又一村。 总结：用分离参数的思想，把恒成立的式子转化为求函利成立； l

()≠o 2当a时，f x= (一 (一1; () a x ) x )①当a时，f x的数值域或最值，简化了运算，减少了困扰学生的参数分类讨>o ()

图象开口向上，与x轴交于两点 (,o和 (,o要使fx>o 1 ) ) )在论，有利于学生理解和掌握此类问题。 x∈( ,)一11恒成立，当且仅当>1即o,<a≤1;练习题： ②当a时，f x的图象开口向下，与x<o ()轴交于两点 (,o 1 ) 1、已知不等式x十2 n对x∈[, o]。≥i x 0+ o恒成立，求m的取值

和( ),要使f ) 0∈一， l _且仅当≤ j, (>在x ( j a x -,当 ￣肌一 一 即一2<a 0<

范围。

2、已知函数fx为奇函数，a ( )为常数，a R∈, f 2) (x=

综上可得，a∈[,] _2 1。

点评：此法难点在于要分类讨论，还要数形结合，是学生

() () 1求f x

比较难于理解掌握的。下面用分离参数的思想来解决： (设gx= s若对州÷ f (≤ (恒成立，求 2 ( I ) )o , -x gx ) ) 分析：()a。 a )+1对x一 11恒成立，即 k fx=x一(+1x>O∈( ,)的取值范围。 a x一x>x一1 (。 )对x∈(

,)一 1恒成立， 1当x 0 ()=时，不等式为 0 3、已知x l=为函数fx=x_x 1e () ( a+) 的一个极值点。

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