分离法在解题中的应用

分离法是高中数学解题的常用方法之一,也是难点.它有常数分离与参数分离,如何用与何时用是解题的关键,下面结合实例谈谈这两种分离法在解题中的应用.

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课程解读

21 0 2年 7月

解：:2+ y—x m —

一

2x 2 -+ 2 m (+ )4 m+ —

- —

4 .

x +2

x+ 2

x+ 2

因为函数，垒 在( 2+上是减函数，以m一>,,=一 )所 4 0得 ,

十 Z

m 4所以实数 m的取值范围为 (, )>, 4+ . 4判断函数的单调性 .

例4判断函数， -+ (≠0 a#b ), c a 0,d c的单调性. _x .

a+b x

解：因为。,d e≠0 a≠b. —

(+ )d鱼 c 6+一

db— c

— -c a— db

所y以

—

詈 ++砉詈— (≠0 a≠6 )在区间 n,d c 似+b

所以当一 c 0,函数’ b>时，:

f。 1f+1分是调减数当一<,一，和一。别单递函； bO 。一，。上 c￣

函y十。, 6区 (, )一，1 数 0≠a c间。和+上= 0≠)\一/ b。分麟 ( d在 u (。一“/。、 别是单调递增函数.

二、数分离法参 求参数的取值范围是高考必考内容之一，它涉及函数、不等式、解析几何等知识，综合性强，解决这类问题最常用的方法是分离参数，通过分离参数，用函数的观点讨论主参数的变化情 学问题. 1求函数的值域 .

况，免分类讨论的麻烦，问题得以顺利解决 .避使用分离参数法可解决如下数学问题：

例1求函数垒的值域 十 l

.

1方程有解 ( .函数零点 )问题

解：函数的定义域为{l≠1,已知有 x x l由 2+3 x y一…+1 一

例5已知方程x-x 4 O 2a+=在区间[,] 2 4上有实数根，实数则。的取值范围是解：因为∈[,]所以方程两边同时除以整理得n+ 24,并 4 .

+1

一：厶T一 2+—≠‘ 7 2一 .+1

所以函数',: 4l -

的值域为(。, ) 2+ 一。2 U(, )

问题转化为求函数y￣+4

l[ 4的值域， ' 2] n q利用对勾函 ,

2求最值 .

数的性质，易知函数' 在区间[,],+ 24的值域为[,]所以。 45, ,

例2设—,函数y x+ x l l求： 27 O￣ t值.+ I 、 十 I

的取值范围为[,] 45. 2函数单调性问题 .

解：

为一，以x l O因> 1所+> . + 0 (+1 25 x )4 7+1 ) (+1+ +

例6 (0 21年江苏高考1) 1 9已知ab,是实数，函数 )+ ,

一— i一———丁—:———一一： :

gx=Z x () () () () ()+ 和 是，和g的导函数. ) ≥ xb 若厂( () 0在区间上恒成立， 则乖实数b的取值范围； () . 2略

(+ 5\ )+. ) 1/。 5+2 _>( 9 ,

) (在区间，:和g )』单调性一致.

()>, () () 1设aO若厂和g在区间[ 1+。上单调性一致， 一，。)求

当且仅当+: 1 L即 1 3舍去 ):或一 (时取等号. +I

所以函数y兰！兰的最小值为9: .

解：1因为函数 ) () ()和g在区间[ 1+。上单调性一致， 一，o) 所以， Vx∈[ 1+ ( ) t0即一， ) g(>, ) Vx一，∞)(+ )+ )∈[ 1+,3 z ( 6≥n因a O贝 Vx一，∞)Ⅱ>, 0∈[ 1+, 2+≥ 0 6 . ,

3求参变量的取值范围 .

例3已知函数y鱼在 ( 2+上是减函数求实数m=一， *) 十

的取值范围.

即因a O V>, x∈[ 1+。,≥一， I2 (一，。)b 则6 .下转第 4> 2页J

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