当前位置： 文档下载 > 所有分类 > 自然科学 > 数学 > 椭圆焦点三角形面积公式求解
运用公式
设P为椭圆上的任意一点，
角F1F2P=α ，F2F1P=β， F1PF2=θ，
则有离心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ)，
焦点三角形面积S=b^2*tan(θ/2)。
证明方法一
设F1P=m ，F2P=n ，2a=m+n，
由射影定理得2c=mcosβ+ncosα，
e=c/a=2c/2a=mcosβ+ncosα / (m+n)，
由正弦定理e=sinαcosβ+sinβcosα/ (sinβ+sinα)=sin(α+β)/ (sinα + sinβ）。 证明方法二
对于焦点△F1PF2，设PF1=m,PF2=n
则m+n=2a
在△F1PF2中,由余弦定理:
(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ
即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)
所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2
所以mn=2b^2/(1+cosθ)
例题
F1，F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点，PQ是过F1的一条弦，求三角形PQF2面积的最大值
【解】S△PQF2=S△QF1F2+S△QF1F2=1/2 * |y2-y1| * 2c=c*|y2-y1|
△QF1F2与△QF1F2底边均为F1F2=2c，之后是联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出|y2-y1|进行分析即可【|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2] 】 请你看下面的一个具体例题，会对你有所启发的。
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