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椭圆焦点三角形面积公式的应用
x2y2
定理 在椭圆2 2 1（a＞b＞0）中，焦点分别为F1、F2，点P是椭圆上任意一点，
ab
F1PF2 ，则S F1PF2 b2tan
2
.
证明：记|PF1| r1,|PF2| r2，由椭圆的第一定义得
r1 r2 2a, (r1 r2)2 4a2.
在△F1PF2中，由余弦定理得：r1 r2 2r1r2cos
(2c)2.配方得：(r1 r2) 2r1r2 2r1r2cos 4c. 即4a 2r1r2(1 cos ) 4c.
2
2
2
2
2
2
2(a2 c2)2b2
r1r2 .
1 cos 1 cos
由任意三角形的面积公式得：
S F1PF2
1sin r1r2sin b2 b2 21 cos
2sin
b2 tan .
22cos2
2
cos
S F1PF2 b2tan
2
.
y2x2
同理可证，在椭圆2 2 1（a＞b＞0）中，公式仍然成立.
ab
典题妙解
x2y2
1上的一点，F1、F2是其焦点，且 F1PF2 60 ，求 例1 若P是椭圆
10064
△F1PF2的面积.
x2y2
1中，a 10,b 8,c 6,而 60 .记|PF1| r1,|PF2| r2. 解法一：在椭圆
10064 点P在椭圆上，
由椭圆的第一定义得：r1 r2 2a 20.
在△F1PF2中，由余弦定理得：r1 r2 2r1r2cos (2c)2.
2
2
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